Chứng minh tồn tại vô số số $n$ thỏa mãn: $n^2+2^n$ chia hết cho 1994

Lời giải:

Để $n^2+2^n$ chia hết cho 1994 thì trước hết n phải chẵn.

Ta chỉ cần chứng minh tồn tại số n sao cho $n^2+2^n$ chia hết cho 997.

Mà theo tiêu chuẩn Euler thì ta có:

$\left ( \frac{-1}{997} \right )=(-1)^{\frac{997-1}{2}}=1 (mod 997)$

Nên 997 có một bội dạng $a^2+1$. Do (996,997)=1 nên tồn tại hệ thặng dư thư gọn có dạng {996.1;996.2,...;996.996} mod 7

Suy ra tồn tại t để $(996t)^2+1$ chia hết  997

Mặt khác $2^{996t} \equiv 1 (mod 997)$

Vậy tồn tại vô số số n sao cho $n^2+2^n \vdots 1994$