Dùng bước nhảy Vi-et để giải bài toán chia hết

Đề bài: Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số nguyên dương thỏa mãn $4ab-1$ là ước của $(a+b-1)(a+b+1) $thì $a=b$

Lời giải:

$4ab-1 \mid (a+b-1)(a+b+1) \iff 4ab-1\mid (a-b)^2+(4ab-1)$

Đến đây ta suy ra: $k_0=\frac{(a-b)^2}{4ab-1} \in Z$

Đến đây hướng giải bằng bước nhảy vi-et xuất hiện, ta tìm cách loại bỏ số hạng ab ở tử.

$k=2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$

Với k=1 thì $k_o=0$ kéo theo $a=b$

Tiếp tục phần $k>1$

Phương trình $ \iff 2a^2-4kba+2b^2-k=0$ (1)

Ta giả sử $a+b$ nhỏ nhất và $a > b$ (Vì nếu $a=b$ thì $k=1$)

Và theo Vi-et thì, tồn tại t sao cho:
$\left\{\begin{matrix}t+a=2kb\\ ta=b^2-\frac{k}{2}\end{matrix}\right.$

$ \Rightarrow a+b \le b+t \Rightarrow t \ge a > b$
$ \Rightarrow 2kb=t+a \le 2t \Rightarrow 2kab \le 2at$

Mà do (1) thì $2kab=a^2+b^2-\frac{k}{2}$ và $2at=2b^2-\frac{k}{2}$

Từ đây suy ra $b \ge a$ Vô lí
Vậy ta có đpcm.