Giải:
Bổ đề : $\text{Với }|a|<1\text{ thì }\sum_{i=0}^{\infty}a^i=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n}a^i=\lim_{n\to\infty}(1+a+a^2+...+a^n)=\lim_{n\to\infty}\frac{1-a^{n+1}}{1-a}=\frac{1}{1-a}$
Dùng PP hàm sinh :
Xét $|a|<1$ và $f(a)=\left(\sum_{x=0}^{\infty}a^x\right)\left(\sum_{y=0}^{\infty}a^{2y}\right)\left(\sum_{z=0}^{\infty}a^{3z}\right)$$=\sum_{x=0,y=0,z=0}^{\infty}A_{x,y,z}.a^{x+2y+3z}=\sum_{n=0}^{\infty}A_n.a^n$ (1)Ta thấy số nghiệm của pt(*) tương ứng chính là hệ số $A_n$ của $a^n$ trong khai triển $f(a)$
Mặt khác :
$f(a)=\frac{1}{1-a}.\frac{1}{1-a^2}.\frac{1}{1-a^3}=\frac{1}{(1-a)^3(1+a)(1+a+a^2)}$$=\frac{\frac{1}{8}}{1+a}+\frac{\frac{17}{72}}{1-a}+\frac{\frac{1}{4}}{(1-a)^2}+\frac{\frac{1}{6}}{(1-a)^3}+\frac{\frac{1}{9}(2+a)}{1+a+a^2}$
Mà ta có các khai triển sau (Maclaurin):
$\frac{1}{(1-a)^m}=(1-a)^{-m}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{-m}{k}(-1)^ka^k=\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+m-1}^{m-1}a^k$
$\frac{1}{1+a+a^2}=(1-a).\frac{1}{1-a^3}=(1-a).\sum_{k=0}^{\infty}a^{3k}=\sum_{k=0}^{\infty}(a^{3k}-a^{3k+1})$
$\frac{2+a}{1+a+a^2}=(2+a)\sum_{k=0}^{\infty}(a^{3k}-a^{3k+1})=\sum_{n=0}^{\infty}(2a^{3k}-a^{3k+1}-a^{3k+2})$
Suy ra
$f(a)=\frac{1}{8}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^na^n+\frac{17}{72}\sum_{n=0}^{\infty}a^n+\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a^n+\frac{1}{6}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}a^n$$+\frac{1}{9}\sum_{k=0}^{\infty}(2a^{3k}-a^{3k+1}-a^{3k+2})$ (2)
Đồng nhất các hệ số của $a^n$ trong (1) và (2), ta có :
$\boxed{}$ Nếu $n=3k$ thì $A_n=\frac{(-1)^{3k}}{8}+\frac{17}{72}+\frac{3k+1}{4}+\frac{(3k+1)(3k+2)}{12}+\frac{2}{9}=\frac{3(-1)^k+21+36k+18k^2}{24}$
$\boxed{}$ Nếu $n=3k+1$ thì $A_n=\frac{(-1)^{3k+1}}{8}+\frac{17}{72}+\frac{3k+2}{4}+\frac{(3k+2)(3k+3)}{12}-\frac{1}{9}=\frac{3(-1)^{k+1}+27+48k+18k^2}{24}$
$\boxed{}$ Nếu $n=3k+2$ thì $A_n=\frac{(-1)^{3k+2}}{8}+\frac{17}{72}+\frac{3k+3}{4}+\frac{(3k+3)(3k+4)}{12}-\frac{1}{9}=\frac{3(-1)^{k}+45+60k+18k^2}{24}$
Vậy :
$\boxed{}$ Nếu $n=3k,k=2t$ tức $n=6t$ thì $A_n=\frac{24+72t+72t^2}{24}=1+3t+3t^2=\frac{(n+3)^2+3}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
$\boxed{}$ Nếu $n=3k,k=2t+1$ tức $n=6t+3$ thì $A_n=\frac{72+144t+72t^2}{24}=3+6t+3t^2=\frac{(n+3)^2}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
$\boxed{}$ Nếu $n=3k+1,k=2t$ tức $n=6t+1$ thì $A_n=\frac{24+96t+72t^2}{24}=1+4t+3t^2=\frac{(n+3)^2-4}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
$\boxed{}$ Nếu $n=3k+1,k=2t+1$ tức $n=6t+4$ thì $A_n=\frac{96+168t+72t^2}{24}=4+7t+3t^2=\frac{(n+3)^2-1}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
$\boxed{}$ Nếu $n=3k+2,k=2t$ tức $n=6t+2$ thì $A_n=\frac{48+120t+72t^2}{24}=2+5t+3t^2=\frac{(n+3)^2-1}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
$\boxed{}$ Nếu $n=3k+2,k=2t+1$ tức $n=6t+5$ thì $A_n=\frac{120+192t+72t^2}{24}=5+8t+3t^2=\frac{(n+3)^2-4}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
Tóm lại Số nghiệm tự nhiện của pt $x+2y+3z=n$ là $A_n=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
Bài 2: Đếm xem có bao nhiêu cách chia
cái kẹo giống nhau thành phần có số lượng khác nhau. (Mỗi phần ít nhất 1 cái kẹo)
Giải:
Gọi $x_1,x_2,x_3,x_4$ lần lượt là số kẹo ở mỗi phần
Không mất tính tổng quát, giả sử $x_1<x_2<x_3<x_4$
Đặt $x_i=x_{i-1}-s_i$, với $i=2,3,4$. Ta có:
$32=x_1+x_2+x_3+x_4=x_1+x_2+2x_3+s_4=x_1+3x_2+2s_3+s_4=4x_1+3s_2+2s_3+s_4$
Ta đưa bài toán từ tìm số bộ nguyên dương $\left ( x_1,x_2,x_3,x_4 \right )$ thành đếm số bộ nguyên dương $\left ( x_1,s_2,s_3,s_4 \right )$
Đặt $y_1=x_1-1$, $y_i=s_i-1$, $i=2,3,4$, ta có:
$y_1+2y_2+...+4y_4=22$
Ta có:
$y_1+2y_2+...+4y_4=22$
$y_1 \leq 22$, $y_2 \leq 11$, $y_3 \leq 7$, $y_4 \leq 5$
Số bộ nguyên không âm $\left ( y_1,y_2,y_3,y_4 \right )$ chính là hệ số của $x^22$ trong đa thức sau:
$P\left ( x \right )=(1+x^4+...+x^{20})(1+x^3+...+x^{21})(1+x^2+...+x^{22})(1+x+...+x^{22})$
$=\frac{\left ( x^{24}-1 \right )^3(x^{23}-1)}{\left ( x-1 \right )...(x^4-1)}$
$=\frac{(x^{23}-1)(x^{24}-1)(x^{12}+1)^2(x^6+1)(x^2-x+1)(x^8+x^4+1)}{(x-1)^2}$
$=(...+x^{22}-2 x^{21}+4 x^{20}-2 x^{19}+4 x^{18}-2 x^{17}+3 x^{16}-x^{15}+3 x^{14}-2 x^{13}+3 x^{12}-x^{11}+2 x^{10}-x^9+2 x^8-x^7+2 x^6-x^5+x^4+x^2-x+1)(1+2x+3x^2+...)$
$=(...+x^{22}-2 x^{21}+5 x^{20}-2 x^{19}+4 x^{18}-2 x^{17}+3 x^{16}-x^{15}+3 x^{14}-2 x^{13}+3 x^{12}-x^{11}+2 x^{10}-x^9+2 x^8-x^7+2 x^6-x^5+x^4+x^2-x+1)(1+2x+3x^2+...)$
Hệ số $x^{22}$ trong đa thức trên là $1\times 1-2\times 2+5\times 3-2 \times 4+4 \times 5-2 \times 6+3 \times 7-8+3 \times 9-2 \times 10+3 \times 11-12+2\times 13-14+2 \times 15-16+2 \times 17-18+19+21-22+23=136$
Vậy số cách chia kẹo thoả mãn yêu cầu đề bài là $136$