Mở rộng về trục đẳng phương, hiệu phương tích điểm đối với 2 đường tròn

Kí hiệu $\mathbb{P}{X, \omega_1}$ là phương tích của X đối với đường tròn $\omega_1$


Xét: $\mathbb{P}(X, \omega_1, \omega_2)=\mathbb{P}{X, \omega_1} - \mathbb{P}{X, \omega_2}$




Ta sẽ tính: $\mathbb{P}(X, \omega_1, \omega_2)$




Xét bài toán sau: Cho hai đường tròn (A) và (C) và một điểm B bất kì. Khi đó $\mathbb{P}{B, A,C}=2\overline{BB_1}.\overline{CA}$









Giải:




Gọi F là hình chiếu của B trên AC, đoạn AC cắt (A), (C) tại D, E ta có:

$\mathbb{P}{B, A,C)=BA^2-R_a^2-(BC^2-R_c^2)$

$=BA^2-BC^2+R_c^2-R_a^2$

$=FA^2-FC^2+R_c^2-R_a^2+IC^2-R_c^2-(IA^2-R_a^2)$ (Do I thuộc trục đẳng phương của (A) và (C).

$=2\overline{FI}.\overline{CA}=2\overline{BB_1}.\overline{CA}(do (\overline{FA}-\overline{FC})(\overline{FA}+\overline{FC})=\overline{CA}(\overline{FA}+\overline{FC}))$
Như vậy: Nếu O là trung điểm NP thì $\mathbb{P}(O, Q, R)=\mathbb{P}(O, Q, R)=\frac{\mathbb{P}(N, Q, R)+\mathbb{P}(P, Q, R)}{2}$ (1)

Ngoài ra tôi còn một cách khá hay chứng minh cho (1).

Ta có:  $\mathbb{P}(O, Q, R)=OQ^2-R_q^2-(OR^2-R_r^2)=OQ^2-OR^2+R_r^2-R_q^2$

Còn:

$\mathbb{P}(N, Q, R)+\mathbb{P}(P, Q, R)=NQ^2-R_q^2-(NR^2-R_r^2)+PQ^2-R_q^2-(PR^2-R_r^2)\\


=NQ^2+PQ^2-2R_q^2+2R_r^2-NR^2-PR^2$

Mặt khác do O là trung điểm áp dụng công thức tính đường trung tuyến cho tam giác QNP, RNP ta có:

$OQ^2=\frac{QN^2+QP^2}{2}-\frac{NP^2}{4}$


$OR^2=\frac{RN^2+RP^2}{2}-\frac{NP^2}{4}$

Thay vào trên ta có điều phải chứng minh

Chúng ta xét ứng dụng của (1):

Cho tam giác ABC, P là một điểm nằm trên BC. (ABP) cắt AC tại Y, tương tự ta được Z. Chứng minh rằng trục đẳng phương của đường tròn đường kính AH và (AYZ) chia đôi BC.

Gọi M là trung điểm của BC, D là chân đường cao kẻ từ A đến BC. Áp dụng (1) ta có:

$\begin{align*}
\mathbb{P}(M, \odot (AYZ), \odot (AH))&= \frac{1}{2}(\mathbb{P}(B, \odot (AYZ), \odot (AH)) + \mathbb{P}(C, \odot (AYZ), \odot (AH)))\\
&= \frac{1}{2}(BP\cdot BC - BD\cdot BC + CP\cdot CB - CD\cdot CB)\\
&= \frac{1}{2}(BC(BP+CP)-BC(BD+CD))=0
\end{align*}$