Cho ba đường tròn C1(O1, R1),C2(O2, R2),C3(O3, R3) phân biệt trên mặt phẳng. Khi đó tâm vị tự ngoài của các cặp đường tròn (C1,C2), (C2,C3), (C3,C1) cùng thuộc một đường thẳng. Hai tâm vị tự trong của hai trong ba cặp đường tròn trên và tâm vị tự ngoài của cặp đường tròn còn lại cùng thuộc một đường thẳng.
Định lý này đã được chứng minh trong nhiều tài liệu hình học nên không nêu tại đây. Ứng dụng:
Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi $(O_b)$ là đường tròn mixtilinear ứng với điểm B và tiếp xúc với (O) tại Y. $(O_c)$ là đường tròn mixtilinear ứng với điểm C và tiếp xúc với (O) tại Z. Chứng minh rằng: BC, YZ, $O_bO_c$ đồng quy.
Giải:
Xét 3 đường tròn (O), $(O_b), (O_c)$
Có Y, Z là tâm vị tự trong của $(O), (O_b)$ và $(O), (O_c)$
Ngoài ra nếu BC cắt $O_bO_c$ tại W thì W là tâm vị tự ngoài của hai đường tròn $(O_b), (O_c)$.
Vậy theo định lý Monge- D' Alembert ta có Y, Z, W thẳng hàng. Hay BC, YZ, $O_bO_c$ đồng quy.
Nhận xét: Điểm W này là một điểm có nhiều tính chất khá hay và thú vị, các bạn có thể xem thêm về chuyên đề đường tròn Mixtilinear.
Gọi $(O_a)$ là đường tròn mixtilinear ứng với điểm A của (O).
Xét ba đường tròn $(O_a), (O), (I)$
Có X là tâm vị tự ngoài của $(O_a)$ và (O)
A là tâm vị tự ngoài của $(O_a)$ và (I)
Như vậy AX sẽ đi qua tâm vị tự trong của (O) và (I)
Tương tự BY, CZ. Vậy ta có đpcm.
Bài 3: (Mathley) Hai đường tròn γ và δ cùng tiếp xúc trong với đường tròn ω tại A và B. Từ A kẻ tiếp tuyến $l1, l2$ tới δ, từ B kẻ hai tiếp tuyến $t1$, $t2$ tới γ. Biết rằng $l1$ cắt $t1$ tại X, $l2$ cắt $t2$ tại Y, hãy chứng minh rằng tứ giác AXBY là tứ giác ngoại tiếp.
Gọi O1, O2, O lần lượt là tâm của γ, δ, ω. AO2 giao BO1 tại I. Gọi α1 là đường tròn tâm I và tiếp xúc với AX, AY; α2 là đường tròn tâm I và tiếp xúc với BX, BY. OI giao AB tại L.
Áp dụng định lý trên cho 3 đường tròn δ, ω, α1 ta có A là tâm vị tự ngoài của α1 và δ, B là tâm vị tự ngoài của δ và ω, suy ra tâm vị tự ngoài của α1 và ω nằm trên AB hay L là tâm vị tự ngoài của α1 và ω. Chứng minh tương tự L cũng là tâm vị tự ngoài của α2 và ω. Từ đó α1 ≡ α2 hay tứ giác AXBY ngoại tiếp.