Bài 1: Cho P(x) và Q(x) là 2 đa thức với hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện:
$\begin{bmatrix}
P(x^3)+xQ(x^3)
\end{bmatrix}\vdots (x^2+x+1)$ Gọi d là ước chung lớn nhất của P(2007) và Q(2007). Chứng minh rằng $d \vdots 2006$
Lời giải:
Ta sẽ chứng minh rằng P(1)=Q(1)=0
Ta có: $\varepsilon =\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ là nghiệm của đa thức $x^2+x+1$
Suy ra: $\varepsilon^3=1$
Từ điều kiện lần lượt cho $x=-\varepsilon, -\varepsilon^2$ vào ta được
$\left\{\begin{matrix}
P(1)+\varepsilon Q(1)=0 (1)& \\
P(1)+\varepsilon^2Q(1)=0 (2)&
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
-\varepsilon P(1)-\varepsilon^2 Q(1)=0 (3)& \\
- \varepsilon^2 P(1)-\varepsilon Q(1)=0 (4)&
\end{matrix}\right.$
Cộng (1), (2), (3), (4) và sử dụng $\varepsilon^2+\varepsilon+1=0$ ta được $3P(1)=0$
Ta chỉ còn chứng minh Q(1)=0, mà từ (1), (2):
$\left\{\begin{matrix}
P(1)+\varepsilon Q(1)=0 & \\
P(1)+\varepsilon^2Q(1)=0 &
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\overline{\varepsilon} P(1)+Q(1)=0 & \\
\overline{\varepsilon} P(1)+ Q(1)=0&
\end{matrix}\right.$ Đến đây làm tương tự như P(1) ta có điều phải chứng minh.
Bài 2 (USA MO): Cho P(x), Q(x), R(x) là các đa thức sao cho:
$\begin{bmatrix}
P(x^5)+xQ(x^5)+x^2R(x^5)
\end{bmatrix} \vdots(x^4+x^3+x^2+x+1)$
Chứng minh rằng P(x) chia hết cho x-1.
Giải: Đặt $w=e^{\frac{2\pi i}{5}}$ thì $w^5=1$, thay x lần lượt bằng $w, w^2, w^3, w^4$ ta được các phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
P(1)+wQ(1)+w^2R(1)=0\\
P(1)+w^2Q(1)+w^4R(1)=0\\
P(1)+w^3Q(1)+w^6R(1)=0\\
P(1)+w^4Q(1)+w^8R(1)=0
\end{matrix}\right.$
Nhân các phương trình từ 1 đến 4 lần lượt với $-w, -w^2, -w^3, -w^4$ ta được:
$\left\{\begin{matrix}
-wP(1)-w^2Q(1)-w^3R(1)=0\\
-w^2P(1)-w^4Q(1)-wR(1)=0\\
-w^3P(1)-wQ(1)-w^4R(1)=0\\
-w^4P(1)-w^3Q(1)-w^2R(1)=0
\end{matrix}\right.$
Sử dụng $1+w+w^2+w^3+w^4=0$ ta được 5P(1)=0 tức là x-1 | P(x)
Nếu gọi $\overline{w}=e^{\frac{2.\pi.i4}{5}} \Rightarrow \overline{w}.w=e^{2 \pi i}=1$
Tương tự như bài trên cho Q(x) ta có Q(1)=0, Q(1)=0 kéo theo R(1) bằng 0.
Ngoài ra ta còn có cách khá đẹp của pco:
Write $P(x)=(x-1)A(x)+P(1)$, $Q(x)=(x-1)B(x)+Q(1)$ and $R(x)=(x-1)C(x)+C(1)$ and constraint is :$x^4+x^3+x^2+x+1|$ $(x^5-1)A(x^5)+x(x^5-1)B(x^5)$ $+x^2(x^5-1)C(x^5)+P(1)+xQ(1)+x^2R(1)$And since $x^4+x^3+x^2+x+1|x^5-1$, we get $x^4+x^3+x^2+x+1|P(1)+xQ(1)+x^2R(1)$And so $P(1)=Q(1)=R(1)=0$Hence the claim