Chứng minh:
Ta đã chứng minh O,K, J, J' thẳng hàng và do J và J' nghịch đảo nhau đối với (O) nên (QRJJ')=-1
QR được gọi là đường kính Brocard của tam giác ABC
Bài toán 2:
Chứng minh rằng có đúng hai điểm đối với một tam giác sao cho chân đường vuông góc hạ
từ chúng đến ba cạnh của tam giác tạo thành một tam giác đều
Chứng minh:
Theo bài toán 1 điểm có hình chiếu lên 3 cạnh tam giác tạo thành 1 tam giác cân nằm
trên một đường tròn apollonius.
Để có tam gíac đều thì điểm đó phải nằm trên 3 đường tròn apollonius của tam giác tức
là hai điểm đẳng động J, J'
của tam giác
Chú ý : Tam giác đều tạo bởi 3 hình chiếu của điểm J lên ba cạnh của tam giác thường
gọi là tam giác đều " thủy túc " của điểm J
Bài toán 3: Trong tất cả các tam giác đều có đỉnh nằm trên ba cạnh của một tam giác thì tam giác đều
thủy túc của điểm đẳng động thứ nhất J của tam giác có diện tích nhỏ nhất.
Chứng minh:
Nhắc lại định lý Miquel :
Cho tam giác ABC và ba điểm L, M, N nằm trên BC, CA, AB. Khi đó ba đường tròn
(AMN),(BLN),(CLM) đồng quy
Ta có:
$\widehat{JLM}=\widehat{JCM}=\widehat{JL'M} \\ \widehat{JLN}=\widehat{JBN}=\widehat{JL'N'} $
Cộng lại ta được:
$\widehat{MLN}=\widehat{M'L'N'}=60^o$
Phép đồng dạng ( vị tự quay) tâm J với tỷ số $r=\frac{JL'}{JL} \le 1, \alpha=\widehat{LJL'}$
biến tam giác
LMN thành tam giác L'M'N'. Theo bài toán 3 suy ra J là điểm đẳng động thứ nhất.