$x_0=1, x_1=1$, $x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_n (a,b \in Z)$
Khi đó ta có:
1)$x_{m+n}=bx_{n}x_{m-1}+x_{n+1}x_{m}$
2) $x_{kn} \vdots x_n$
Ứng dụng:
Mở rộng đề thi chọn đội tuyển Ninh Bình 2016: Giả sử $p,q$ là hai số nguyên tố , dãy $(u_n)$ được xây dựng như sau:
$$\left\{\begin{matrix} u_0=0 & & & \\ u_1=1 & & & \\ u_n=pu_{n-1}-qu_{n-2}\forall n\geq 2,n \in \mathbb{N} & & & \end{matrix}\right.$$
Tìm tất cả $p,q$ biết tồn tại số tự nhiên $k$ để $u_{3k}=-3$
áp dụng tính chất 2) suy ra $u_3 |3 $ hay $p^2-q|3$. Kết hợp điều kiện p,q nguyên tố nên có thể dễ dàng tìm được p,q