Cho $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $3 | p-2$ khi đó $p | x^3 -y^3$ khi và chỉ khi $p | x-y$
Chứng minh:
Ta xét $ x,y $ không chia hết cho $p$ vì nếu chia hết cho p là hiển nhiên.
Nếu $ x \equiv y (mod p)$ thì $ x^3 \equiv y^3 (mod p)$
Ta chứng minh Nếu $ x^3 \equiv y^3 (mod p)$ thì $ x \equiv y (mod p)$
$x^{3} \equiv y^3 (mod p) \Rightarrow x^{p-2}\equiv y^{p-2}(mod p)$
Theo định lý Fermat nhỏ:$x^{p-1}\equiv y^{p-1} \equiv 1(mod p) \Rightarrow x^{p-2}(x-y) \equiv 0 (mod p) \Rightarrow x \equiv y (mod p)$
Xét ứng dụng của bổ đề trên:
Bài toán ( Chọn đội tuyển QG tỉnh Lạng Sơn 2016): Cho đa thức $P(x)=4x^3-18x^2+27x+m$. CMR: Với mỗi $m\in\mathbb{Z}$, $\exists n\in\mathbb{Z}$ sao cho $P(n)\vdots 107$
Lời giải:
Do (2, 107)=1 nên:
$P(n)\vdots 107 \Leftrightarrow 2P(n)\vdots 107$
Xét $G(x)=2P(x)=(2x-3)^2+27+2m$
Với mỗi $m$ ta có $G(0), G(1), . G(106)$ lập thành một hệ thặng dư đầy đủ mod 107. Thật vậy:
Nếu có $i ,j $ mà $ 0\ge i, j \le 106$ mà $G(i) \equiv G(j) (mod 107)$ Thì khi đó theo bổ đề trên:
$i \equiv j (mod 107)$ hay $ i=j$.
Vậy luôn tồn tại $n$ sao cho $P(n)\vdots 107$