Dùng phép quay vector chứng minh vuông góc và tỉ số

Bài toán 1 (MOSP 2002): Cho tam giác ABC. Lấy các cạnh AB, AC làm đáy dựng ra ngoài các tam giác cân ABC', ACB' không nhất thiết đồng dạng. Lấy A' khác phía với A đối với đường thẳng BC sao cho $\angle A'CB=\frac{1}{2} \angle BC'A, \angle A'BC=\frac{1}{2}AB'C$. Gọi D là hình chiếu A' trên BC. Chứng minh rằng AA' vuông B'C' và $\frac{AA'}{B'C'}=2\frac{A'D}{BC}$.

Giải:

Đặt: $\alpha=\angle BCA', \beta =\angle A'BC$. Ta có $\frac{BC}{A'D}=cot\alpha+cot\beta.$ Đặt $k=\frac{2}{cot\alpha+cot\beta}=2\frac{A'D}{BC}$
Giá sử tam giác ABC có hướng dương, gọi f là phép quay vecto theo góc $+\frac{\pi}{2}$ ta có:
$f(\overrightarrow{B'C'})=f(\overrightarrow{B'E}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FC'})\\=cot\beta\overrightarrow{AE}+cot\alpha\overrightarrow{AF}+\frac{1}{2}(cot\alpha+cot\beta)\overrightarrow{DA'}\\=\frac{1}{2}(cot\alpha \overrightarrow{AB}+cot \beta \overrightarrow{AC})+\frac{1}{2}(cot \alpha+cot \beta)\overrightarrow{DA'}(1)$

Mặt khác: $\frac{DB}{DC}=\frac{DB}{DA'}\frac{DA'}{DC}=\frac{cot\beta}{cot\alpha}=\frac{tan\alpha}{tan\beta }$

Do đó $(tan \alpha+tan \beta ) \overrightarrow{AD}=tan\beta \overrightarrow{AB}+tan\alpha \overrightarrow{AC}\\\Leftrightarrow (cot \alpha+cot \beta)\overrightarrow{AD}=cot\alpha\overrightarrow{AB}+\cot \beta \overrightarrow{AC}(2)$

Từ (1), (2) suy ra:
$f(\overrightarrow{B'C'})=\frac{1}{2}(cot \alpha + cot \beta)\overrightarrow{AA'} \Leftrightarrow \\\overrightarrow{AA'}=\frac{2}{cot \alpha+ cot \beta}.f(\overrightarrow{B'C'})=kf(\overrightarrow{B'C'})$

Suy ra điều phải chứng minh.

Bài 2: Cho tứ giác ABCD có AC=BD. Lấy các cạnh làm cạnh đáy, dựng ra ngoài các tam giác đều ABX, BCY, CDZ, DAT, có tâm lần lượt là O1,O2,O3,O4. Chứng minh rằng O1O3 vuông O2O4

Lời giải

Giả sử tứ giác ABCD định hướng âm. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD, BC, DA. Do AB=BD nên tứ giác MNPQ là hình thoi và MN vuông PQ. kí hiệu f là phép quay vecto theo góc +$90^o$.

Để ý rằng: $3\overrightarrow{O_1O_3}=2\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{XZ},3\overrightarrow{O_4O_2}=2\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{TY},\\f(2\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{XZ})=f(\overrightarrow{XM}+\overrightarrow{MN}.3+\overrightarrow{NZ})=f(\overrightarrow{XM})+3f(\overrightarrow{MN})+f(\overrightarrow{NZ}\\=\sqrt{3}\overrightarrow{AM}+\sqrt{3}\overrightarrow{NC}+\sqrt{3}\overrightarrow{TQ}+\sqrt{3}\overrightarrow{PY}=\sqrt{3}\overrightarrow{QP}+\sqrt{3}(\overrightarrow{TQ}+\overrightarrow{PY})\\\rightarrow f(\overrightarrow{O_1O_3})3\sqrt{3}=2\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{TY}=3\overrightarrow{O_4O_2}$

Từ đây suy ra điều phải chứng minh, ngoài ra ta còn tính được tỉ số O1O3 và O2O4.