Gọi $ \omega$ và $ \omega_{1}$ cắt tại $ A$ và $ P,\,\omega$ và $ \omega_{2}$cắt nhau tại $ B$ và $ Q,\,\omega$ và $ \omega_{3}$cắt nhau tại $ C$ and $ R.$
CMR: a) $ \omega_{1},\,\omega_{2}$ và $ \omega_{3}$ đồng quy
b) $ PD,\, QE$ và $ RF$ đồng quy
Giải:
a) Dễ thấy $ \omega_{1},\,\omega_{2}$ và $ \omega_{3}$ cùng đi qua I
b) Qua phép nghịch đảo tâm I ta đưa về bài toán. Cho tam giác DEF có A, B, C là trung điểm của EF, DF, DE. (ABC) cắt EF tại A', DF tại B', DE tại C'. CMR (IDA'), (IEB'), (IFC') đồng quy tại một điểm khác I
Dễ thấy trực tâm H của tam giác DEF có cùng phương tích với 3 đường tròn này và ta có I là điểm chung của 3 đường tròn, suy ra IH là trục đẳng phương chung của 3 đường tròn. Giả sử đường tròn thứ nhất giao với đường tròn thứ 2 và thứ 3 tại hai điểm U, V khác nhau khi đó U, V, I thẳng hàng và đường thẳng UV cắt đường tròn tại 3 điểm (vô lí) Vậy ta có đpcm