\[f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y).(\forall x,y \in \mathbb{R}) \]
Lời giải:
Do f toàn ánh nên tồn tại a sao cho f(a)=0.
Từ (a,y) và (2a,y) và tính toàn ánh của hàm số f ta suy ra:
$f(x+a)=f(x) \forall x \in R \Rightarrow f(x)=f(x-a) \forall x \in R$ (1)
$\Rightarrow f(0)=f(a)=0$
Do f là toàn ánh nên với mỗi x thuộc R tồn tại $y_o$ sao cho: $f(y_o)=\frac{x-f(x)}{2}$
$(x,y_o) \Rightarrow f(2y_o)=0 $
$(0,y_o) \Rightarrow f(2y_o)=0=f(2f(y_o))=f(x-f(x))=0 (\forall x \in R)$
Tương tự như (1) ta có:
$f(x)=f(x-(x-f(x)))=f(f(x)) (\forall x \in R) $ Do f toàn ánh nên $f(x)=x (\forall x \in R)$
Nhận xét: Ý tưởng: "tồn tại $y_o$ sao cho: $f(y_o)=\frac{x-f(x)}{2}$" khá quan trọng trong bài toán
Bài 2: (30/04 lớp 11 năm 2016): Tìm tất cả hàm số toàn ánh: $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ thỏa mãn:
\[f(x+f(x)+2f(y)+2f(z))=f(2x)+f(2y)+f(2z).(\forall x,y,z \in \mathbb{R}) \]
Lời giải:
Do f toàn ánh nên tồn tại a sao cho f(a)=0.
Cho $x=y=z=a$ ta được $f(2a)=0$
Cho $z=a$ ta được đề Iran TST 2011.
Bài 3: (Brazil 2006): Tìm tất cả hàm số: $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
\[f(xf(y)+f(x)) = 2f(x)+xy\] với mọi số thực x,y.Lời giải:
Cho $x=1$ Dễ dàng suy ra được hàm số đã cho song ánh.
Nên tồn tại a,b sao cho $f(a)=0, f(b)=1$
Cho $x=a, y=b$ ta được:
$ab=0$
Nếu $a=0$ thì cho y=0 vào ta suy ra $f(f(x))=2f(x)$ với mọi x thực dùng điều kiện song ánh suy ra $f(x)=2x \forall x \in R$ thử lại thấy không thỏa
Vậy $b=0$.
Mặt khác cho $x=y=-1$ vào pt hàm ban đầu ta được:
$f(-1)=0$
Cho y=-1 vào pt hàm ban đầu ta được:
$f(f(x))=2f(x)-x$ (2)
Trong (2) cho x=0 ta được $f(1)=2$
Cho x=-1,y=1 ta được:
$f(-2)=-1$
Mặt khác do f là toàn ánh nên với mỗi x thuộc R tồn tại $y_o$ sao cho $f(y_o)=f(x)-x $
$P(x,-2): f(f(x)-x)=2(f(x)-x) $hay $f(f(y_o))=2f(y_o)$
Mặt khác từ (2) suy ra $f(f(y_o))=2f(y_o)-y_o$
Suy ra $y_o=0$ suy ra $f(x)=x+1$ với mọi x thuộc R
Nhận xét: ta thấy được $f(x)=x+1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài và ta cần tìm y sao cho $2(xf(y)+f(x))=2f(x)+xy$ hay $2f(y)=y$ giải phương trình được $y=-2$
Bài tập: các bạn hãy dùng cách trên để giải VMO 2017:
Tìm tất cả các hàm số : thỏa mãn hệ thức:
$$f\left ( xf\left ( y \right )-f\left ( x \right ) \right )=2f\left ( x \right )+xy$$ với mọi số thực