Công thức nhân năm
$$\sin5x=16\sin^{5}x-20\sin^{3}x+5\sin x$$$$\cos5x=16\cos^{5}x-20\cos^{3}x+5\cos x$$
Chứng minh công thức nhân 5
Cách 1. Cách phổ thông nhất là viết $5x=3x+2x$ sau đó dùng công thức cộng lượng giác, công thức nhân đôi, công thức nhân ba để khai triển. Chi tiết dành cho bạn đọc.Cách 2. Không làm riêng rẽ như cách 1, ở cách 2 này chúng tôi sẽ chứng minh đồng thời 2 công thức trên bằng kiến thức của số phức.
Theo công thức Moivre, ta có
$\cos5x+i\sin5x=(\cos x+ i\sin x)^5 \\
=\cos^5x+5i\cos^4x\sin x+10i^2\cos^3x\sin^2x+10i^3\cos^2x\sin^3x+5i^4\cos x\sin^4x+i^5\sin^5x \\
= \cos^5x−10\cos^3x\sin^2x+5\cos x\sin^4x+i(\sin^5x−10\cos^2x\sin^3x+5\cos^4x\sin x)$
Suy ra
$\cos5x=\cos^5x−10\cos^3x\sin^2x+5\cos x\sin^4x \\
= \cos^5x−10\cos^3x(1-\cos^2x)+5\cos x(1-\cos^2x)^2 \\
= 16\cos^{5}x-20\cos^{3}x+5\cos x$
và
$\sin5x=\sin^5x−10\cos^2x\sin^3x+5\cos^4x\sin x \\
= \sin^5x−10(1-\sin^2x)\sin^3x+5(1-\sin^2x)^2\sin x \\
= 16\sin^{5}x-20\sin^{3}x+5\sin x$
Như vậy ta đã chứng minh được cả 2 công thức cùng một lúc.
Theo MathVN. Người đăng: Sơn Phan.