Bài toán tìm số cái bắt tay của các cặp vợ chồng

Một bài toán thường gặp ở chương tổ hợp xác suất toán lớp 11 (hoặc ở các kì thi học sinh giỏi ở cấp 1, cấp 2) là bài toán bắt tay của các cặp vợ chồng.

Câu 1. Có 10 cặp vợ chồng ở một bữa tiệc. Các ông bắt tay với tất cả, trừ vợ của mình. Các bà không bắt tay với nhau. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?
A. 190
B. 180
C. 145
D. 135


Câu 2. (Olympia 20) Tại một bữa tiệc có 13 cặp vợ chồng tham dự. Mỗi ông bắt tay một lần với mọi người, trừ vợ mình. Các bà không ai bắt tay với nhau. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?

Ta tổng quát thành bài toán sau:

Bài toán bắt tay

Tại một bữa tiệc có $n \ (n \in \mathbb{N}, n \ge 2)$ cặp vợ chồng tham dự. Mỗi ông bắt tay một lần với mọi người, trừ vợ mình. Các bà không ai bắt tay với nhau. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?

Lời giải 1. (Đếm phần bù)

- Tổng cộng có $2n$ người. Nếu $2$ người bất kì đều bắt tay nhau thì số cái bắt tay là $C_{2n}^2$
- Loại trừ:
+ Số cái bắt tay của các ông với vợ mình: $n$.
+ Số cái bắt tay của các bà với nhau: $C_n^2$
Vậy có tất cả:
$$C_{2n}^2-C_n^2-n$$ cái bắt tay.

Lời giải 2. (Đếm trực tiếp)

- Số cái bắt tay của các ông với nhau: $C_n^2$
- Số cái bắt tay của các ông với các bà (trừ vợ): $n.(n-1)$
Vậy tổng số cái bắt tay là:
$$C_n^2+n(n-1)$$

Áp dụng

Câu 1. $C_{20}^2-C_{10}^2-10=135$
hoặc
$C_{10}^2+10.9=135$
Câu 2. $C_{13}^2+13.12=234$

 
Người đăng: MiR Math.

Đăng nhận xét

Please Select Embedded Mode To Show The Comment System.*

Mới hơn Cũ hơn