Bài toán tính tổng x + y từ một đẳng thức 'liên hợp'

Một bạn đọc trên facebook diễn đàn toán học VN có hỏi bài toán tính tổng x + y như sau:

Bài toán.

Lời giải 1.

Để ý rằng, với mọi số thực $y$ ta luôn có:
$(y+\sqrt{y^2+1})(\sqrt{y^2+1}-y)=1$
Do đó $\ \dfrac{1}{y+\sqrt{y^2+1}}\ \ =\ \ \sqrt{y^2+1}-y.$

Đẳng thức trong đề bài được viết lại
$x+\sqrt{x^2+1}=\sqrt{y^2+1}-y$
$\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2+1} = -y+\sqrt{(-y)^2+1}$
$\Leftrightarrow x=-y$
(do hàm số $f(t)=t+\sqrt{t^2+1}$
đồng biến trên $\mathbb{R}$.)
Vì vậy $x+y=0.$

Lời giải 2. (Đạt Nguyễn, Võ Minh Đức)

Tương tự phần đầu của lời giải 1, từ đẳng thức trong đề bài, ta suy ra:
$x+\sqrt{x^2+1}=\sqrt{y^2+1}-y$
$y+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{x^2+1}-x$
Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên ta được
$x+y=-y-x \Rightarrow x+y=0.$

Người đăng: Mr. Math.