Cho x² + y² = z², chứng minh xyz chia hết cho x + y + z

Một thành viên diễn đàn toán học VN có hỏi bài số học sau:

Bài toán.

Cho các số nguyên dương $x,y,z$ thoả mãn $x² + y² = z²$, chứng minh rằng $xyz$ chia hết cho $x + y + z$.



Dưới đây là một số lời giải của thành viên fanpage Diễn đàn Toán học Việt Nam:

Lời giải 1. (Nhật Minh)
Biến đổi $z²=x²+y²$ thì ta có:
$z²+2xy=(x+y)² \\ \Leftrightarrow 2xy= (x+y-z) (x+y+z)$
Suy ra $x+y-z$ hoặc $x+y+z$ chia hết cho $2$ mà $x+y-z$ đồng dư với $x+y+z$ theo modulo $2$ nên $x+y-z$ chia hết cho $2$.
Đặt $x+y-z =2k$ thì $xy= k(x+y+z)$ nên $xyz$ chia hết cho $(x+y+z).$

Lời giải 2. (Minh Quân)
Ta có
$\dfrac{xyz}{x+y+z}\ \ \ = \ \ \dfrac{z(x+y-z)}{2}\ \ \ \ \ \ $
Nếu $z$ chẵn suy ra đpcm.
Nếu $z$ lẻ suy ra $x+y$ lẻ suy ra $x+y-z$ chẵn suy ra đpcm.

Lời giải 3. (Hội Quán Thám Tử)
Bộ 3 số $x,y,z$ thỏa mãn đẳng thức Pitago trong đề bài có dạng:
$x = k(2mn)$
$y = k(m^2 - n^2)$
$z = k(m^2 + n^2)$
Do đó:
$x+y+z = 2km(m+n)$
$xyz = 2k^3mn(m^2+n^2)(m-n)(m+n)$
Vậy $xyz$ chia hết cho $(x+y+z)$.

Bài tương tự: Chứng minh xyz chia hết cho 60.

Theo FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.

Đăng nhận xét

Please Select Embedded Mode To Show The Comment System.*

Mới hơn Cũ hơn