Chứng minh xyz chia hết cho 60 nếu x² + y² = z²

Bạn đọc N.Hoàng, thành viên diễn đàn Toán học VN, có hỏi bài toán số học sau đây.
Bài toán.
Cho $x, y, z$ là các số nguyên dương thỏa mãn $x^2+y^2=z^2.$
Chứng minh rằng $xyz$ chia hết cho $60$.

Lời giải 1. (Hồ Xuân Đức)

Do $60=3.4.5$ và $3,4,5$ nguyên tố cùng nhau nên ta chỉ cần chứng minh $xyz$ chia hết cho $3,4,5$ là đủ.

a) Giả sử cả ba số $x, y, z$ đều không chia hết cho $3$.
Khi đó $x²,y², z²$ chia cho $3$ dư $1$.
Suy ra $x²+y²$ chia $3$ dư $2$, trong khi $z²$ chia $3$ dư $1$.
Mâu thuẫn với giả thiết $x^2+y^2=z^2.$
Vậy trong ba số $x,y,z$ có ít nhất một số chia hết cho 3. Suy ra $xyz \vdots 3$.

b) Giả sử cả ba số $x, y, z$ đều không chia hết cho $5$.
Khi đó $x²,y²,z²$ chia 5 dư 1 hoặc 4.
Suy ra $x²+y²$ chia hết cho 5 hoặc chia 5 dư 2 hoặc 3, trong khi $z²$ chia 5 dư 1 hoặc 4.
Mâu thuẫn với giả thiết $x^2+y^2=z^2.$
Vậy trong ba số $x,y,z$ có ít nhất một số chia hết cho 5. Suy ra $xyz \vdots 5$.

c) Ta sẽ chứng minh $xyz$ chia hết cho 4.
Từ đẳng thức trong đề bài, ta suy ra 3 số $x,y,z$ không thể cùng lẻ và cũng không thể có 2 số chẵn và 1 số lẻ.
- Nếu $x,y,z$ cùng chẵn thì rõ ràng $xyz \vdots 4$.
- Nếu 2 số lẻ và 1 số chẵn: ta đã biết số chính phương lẻ chia 4 dư 1, scp chẵn chia hết cho 4, nên $x,y$ không thể cùng lẻ. Không mất tính tổng quát, giả sử $x$ chẵn, $y,z$ lẻ. Khi đó $x²=(y+z)(y-z)=(2k+2n+2)(2k-2n) = 4(k+n+1)(k-n).$
Mà $k+n+1$ và $k-n$ khác tính chẵn lẻ, nên $(k+n+1)(k-n)$ chẵn, nên $x²$ chia hết cho 8 , do đó $x$ chia hết cho $4$. Vậy $xyz \vdots 4$.

Lời giải 2. (Bui Hai Phuc Nguyen)

Những bộ số Pytago (thỏa mãn đẳng thức trong bài) có dạng $x=m^2-n^2, y=2mn, z=m^2+n^2.$
Khi đó $A=xyz=2mn(m^4-n^4).$
* Xét theo modulo 3:
Nếu $m$ hoặc $n$ chia hết cho 3 thì A chia hết cho 3.
Nếu cả $m$ và $n$ đều không chia hết cho 3 thì $m⁴-n⁴$ chia hết cho 3.
Vậy A chia hết cho 3.
* Xét theo modulo 5: tương tự modulo 3, được A chia hết cho 5.
* Xét theo modulo 4:
Nếu $m$ và $n$ khác tính chẵn lẻ thì $2mn$ chia hết cho 4.
Nếu $m$ và $n$ cùng tính chẵn lẻ thì $m⁴-n⁴$ chia hết cho 4.
Vậy A chia hết cho 4.
Vì $3, 4, 5$ nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho $60$.
Theo FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.

Đăng nhận xét

Please Select Embedded Mode To Show The Comment System.*

Mới hơn Cũ hơn