So sánh π^e và e^π (không dùng máy tính)

Bài toán. Hãy so sánh hai số $\pi^e \ \text{và} \ \ e^\pi.$

Lời giải. (Hồ Xuân Đức)

Xét hàm số $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$
trên khoảng $(0;+\infty)$.

Ta có $f'(x) = \dfrac{1-\ln x}{x^2}$
Với mọi $x\ge e$ thì $f'(x)\le 0$
và dấu bằng chỉ xảy ra tại $x=e$.
Do đó $f(x)$ nghịch biến trên $[e;+\infty)$.
Mà $\pi > e$ nên $f(\pi)< f(e)$.
$\Rightarrow \dfrac{\ln\pi}{\pi}< \dfrac{\ln e}{e}$
$\Rightarrow e\ln \pi < \pi \ln e $
$\Rightarrow \ln \pi^e < \ln e^\pi$
$\Rightarrow \pi^e< e^\pi.$

Bài tương tự. Hãy so sánh hai số $$2020^{2021} \ \ \ \ \text{và} \ \ \ \ 2021^{2020}.$$

Theo FB MathVn. Người đăng: MiR Math.