Tích phân liên hiệp sin-cos

Một bạn đọc của diễn đàn Toán học VN có hỏi câu tích phân sau

Bài toán. Tính tích phân
$I=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left ( \sin^2(\cos x)+\cos^2(\sin x) \right ) \text{d} x$
Lời giải.
Đặt $t=\pi/2-x$ ta được $\sin x=\cos t$ và $\cos x= \sin t$. Do đó

$ I=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left (\sin^2(\sin t)+\cos^2(\cos t) \right ) \text{d} t$

Cộng lại ta được:
$I+I=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left (\sin^2(\cos x)+\cos^2(\sin x) + \sin^2(\sin x)+\cos^2(\cos x) \right ) \text{d} x$
hay $2I=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\text{d} x.$
$($ do $\sin^2 u+\cos^2 u=1).$
Suy ra $I=\dfrac{\pi}{2}.$
Người đăng: MiR Math.

Đăng nhận xét

Please Select Embedded Mode To Show The Comment System.*

Mới hơn Cũ hơn