'Em đã thử mũ 12 hai vế của phương trình mà ... toang!'

Một thành viên của diễn đàn toán học VN có hỏi câu phương trình vô tỉ với lời nhắn:

Em đã thử mũ 12 hai vế của phương trình mà toang quá!

Bài toán.

Các thành viên fanpage diễn đàn toán học VN như Hồ Xuân Đức, Minh Tuấn, Phạm Duy Nam, Nguyễn Phát, Khánh Đình Phạm comment hướng dẫn đều chung ý tưởng là dùng phương pháp đánh giá hai vế và cho rằng "mũ 12 hai vế là sai lầm, bế tắc". Dưới đây là lời giải dựa theo comment của họ.

Lời giải.

Điều kiện của phương trình: $x≥-1/4$.
Với mọi $x≥-1/4$ ta có
$\sqrt[4]{1+4x} = \sqrt[4]{1.1.1.(1+4x)}\\ ≤ (1+1+1+1+4x)/4 = x+1.$
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $1+4x=1 \Leftrightarrow x=0$.

$\sqrt[3]{2x³+4x²+3x+1}\\ = \sqrt[3]{(x+1)³+x²(x+1)}\\ ≥\sqrt[3]{(x+1)³}=x+1$
(do $x+1 >0$ và $x²≥0$.)
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x²=0 \Leftrightarrow x=0$.

Vậy phương trình đã cho tương đương với $\sqrt[4]{1+4x} = x+1 = \sqrt[3]{2x^3+4x^2+3x+1}$
Hệ này có nghiệm duy nhất $x=0$.

Theo MathVN FB. Người đăng: Mr. Math.