Bài toán 25 số trên đường tròn

Một bạn đọc của diễn đàn toán học VN fanpage có hỏi bài toán sau.

Bài toán.
Xếp các số tự nhiên từ $1$ đến $25$ một cách tùy ý trên một đường tròn. Chứng minh rằng có 3 số gần nhau trên đường tròn có tổng $\ge 41$ và 3 số gần nhau có tổng $\le 37$.
Lời giải. (Duy Hunter)
Theo chiều kim đồng hồ, đặt các số lần lượt là $a_0, a_1, a_2,..., a_{24} \text{ với } a_0=1.$
Đặt $S_k=a_{3k-2}+a_{3k-1}+ a_{3k}, \ k = \overline{1,8}.$
Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại một số $S_i \text{ thỏa } $
$S_i \ge \dfrac{1}{8} \displaystyle \sum_{j=1}^8 S_j$
$ =(2+3+4+...+25)/8 > 40$
Suy ra
$S_i \ge 41$

Ở phần còn lại, tương tự, nhưng với $a_0=25,$
tồn tại $S_k \text{ sao cho }$
$S_k \le \dfrac{1}{8}\displaystyle \sum_{i=1}^8 S_i$
$=(1+2+3+...+24)/8< 38$
Suy ra $S_k \le 37.$

Theo FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.

Đăng nhận xét

Please Select Embedded Mode To Show The Comment System.*

Mới hơn Cũ hơn