Câu hệ phương trình mũ-logarit gây khó cho nhiều học sinh

Một câu hệ phương trình mũ và logarit trên fanpage diễn đàn toán học VN gây khó cho nhiều học sinh, có nội dung như sau:

Bài toán.
Lời giải. (Hồ Xuân Đức)

Phương trình đầu tiên được viết lại
$e^{x^2}(x²+1) = e^{y^2}(y²+1) \ \ (*)$

Xét hàm $f(t)=e^t(t+1), \ t \ge 0.$
Ta có $f'(t)=e^t(t+2) > 0, \forall t \in [0,+\infty).$
Do đó $f$ đồng biến trên $[0;+\infty)$ nên
$(*) \Leftrightarrow x²=y²\Leftrightarrow x = - y \vee x= y$

+ Với $x=-y$ thì phương trình thứ hai trở thành
$3\log_3 (y+6)=3 \Leftrightarrow y=-3$
Từ đó $x=3$.

+ Với $x=y$ thì phương trình thứ hai trở thành
$3\log_3(3x+6)=2\log_2(2x+2) +1 \\ \Leftrightarrow 3\log_3(x+2) = 2\log_2(x+1) \ \ (**)$

Xét hàm $g(x)= 3\log_3(x+2) - 2\log_2(x+1), \text{ với } x > -1.$
Ta có
$g'(x) = \dfrac{3}{(x+2)\ln 3} - \dfrac{2}{(x+1)\ln 2} \\ = \dfrac{3\ln 2(x+1)-2\ln 3(x+2)}{(x+1)(x+2)\ln 2\ln 3} \\ = \dfrac{(\ln 8-\ln 9)(x+1) -\ln9}{(x+1)(x+2)\ln 2\ln 3}$
Vậy $g'(x) < 0, \forall x > -1.$
Lại có $g(7)=0$ nên $x=7$ là nghiệm duy nhất của phương trình (**). Từ đó $y=7$.

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm $(3;-3)$ và $(7;7)$.

Theo FB MathVN. Người đăng: Mr. Math.

Đăng nhận xét

Please Select Embedded Mode To Show The Comment System.*

Mới hơn Cũ hơn