Bài toán.
Phương trình đầu tiên được viết lại
$e^{x^2}(x²+1) = e^{y^2}(y²+1) \ \ (*)$
Xét hàm $f(t)=e^t(t+1), \ t \ge 0.$
Ta có $f'(t)=e^t(t+2) > 0, \forall t \in [0,+\infty).$
Do đó $f$ đồng biến trên $[0;+\infty)$ nên
$(*) \Leftrightarrow x²=y²\Leftrightarrow x = - y \vee x= y$
+ Với $x=-y$ thì phương trình thứ hai trở thành
$3\log_3 (y+6)=3 \Leftrightarrow y=-3$
Từ đó $x=3$.
+ Với $x=y$ thì phương trình thứ hai trở thành
$3\log_3(3x+6)=2\log_2(2x+2) +1 \\ \Leftrightarrow 3\log_3(x+2) = 2\log_2(x+1) \ \ (**)$
Xét hàm $g(x)= 3\log_3(x+2) - 2\log_2(x+1), \text{ với } x > -1.$
Ta có
$g'(x) = \dfrac{3}{(x+2)\ln 3} - \dfrac{2}{(x+1)\ln 2} \\ = \dfrac{3\ln 2(x+1)-2\ln 3(x+2)}{(x+1)(x+2)\ln 2\ln 3} \\ = \dfrac{(\ln 8-\ln 9)(x+1) -\ln9}{(x+1)(x+2)\ln 2\ln 3}$
Vậy $g'(x) < 0, \forall x > -1.$
Lại có $g(7)=0$ nên $x=7$ là nghiệm duy nhất của phương trình (**). Từ đó $y=7$.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm $(3;-3)$ và $(7;7)$.
Theo FB MathVN. Người đăng: Mr. Math.