Giải câu tổ hợp ở đề học sinh giỏi Quảng Bình 2020

Câu 3b ở đề thi học sinh giỏi Toán 12 tỉnh Quảng Bình năm học 2020-2021 (thi ngày 8/12/2020) yêu cầu chứng minh một đẳng thức tổ hợp.

Đề bài.

Chứng minh $\displaystyle \sum_{k=1}^{2020}\left ( kC_{2020}^k \right )^2 \ \ \ \ =\ \ 2020^2C_{4038}^{2019}.$

Lời giải 1. (Đông Ngô)


Ta có
$kC_n^k=\dfrac{k.n!}{k!(n-k)!}=\dfrac{n.(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}=nC_{n-1}^{k-1}.$
Do đó:
$\displaystyle \sum_{k=1}^{2020}\left ( kC_{2020}^k \right )^2 \ \ \ \ = \ \ \ \ 2020^2 \displaystyle \sum_{k=1}^{2020}\left ( C_{2019}^{k-1} \right )^2 \ \ (*)$
Xét đẳng thức
$(1+x)^{4038}=(1+x)^{2019}(1+x)^{2019}$
Vế trái $(1+x)^{4038}\ \ \ = \ \displaystyle\sum_{k=0}^{4038}C_{4038}^kx^k$
Vế phải $(1+x)^{2019}(1+x)^{2019}=\displaystyle\sum_{k=0}^{2019}C_{2019}^kx^k.\displaystyle\sum_{l=0}^{2019}C_{2019}^lx^l$
So sánh hệ số của $x^{2019} \text{ ở hai vế ta được}$
$C_{4038}^{2019} \ \ = \ \ \displaystyle \sum_{i=0}^{2019}\left ( C_{2019}^{i} \right )^2 \ \ = \ \ \displaystyle \sum_{k=1}^{2020}\left ( C_{2019}^{k-1} \right )^2$
Từ đó và (*) suy ra:
$\displaystyle \sum_{k=1}^{2020}\left ( kC_{2020}^k \right )^2 \ \ \ =\ \ \ 2020^2C_{4038}^{2019}.$

Lời giải 2. (Phạm Vinh)


Ta có
$ \left ( 1+x \right )^{2020} \ \ \ \ \ = \ \displaystyle\sum_{k=0}^{2020}C_{2020}^kx^k$
Đạo hàm hai vế ta được
$ 2020\left ( 1+x \right )^{2019}\ = \displaystyle \sum_{k=1}^{2020}kC_{2020}^kx^{k-1}$
$ \Rightarrow 2020^2\left ( 1+x \right )^{4038} \ \ \ =\ \ \ \left ( \displaystyle\sum_{k=1}^{2020}kC_{2020}^kx^{k-1}\right )^2$
So sánh hệ số của $x^{2019} \text{ ở hai vế ta được}$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{2020}\left ( kC_{2020}^k \right )^2 \ \ \ =\ \ \ 2020^2C_{4038}^{2019}.$

Theo FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.

Đăng nhận xét

Please Select Embedded Mode To Show The Comment System.*

Mới hơn Cũ hơn