Giải phương trình 2^x=x+2

Một phương trình mũ có hình thức trông 'đơn giản' được đề xuất bởi bạn Hồ Xuân Đức, kèm lời giải chi tiết.

Bài toán.

Lời giải. (Hồ Xuân Đức)

Dễ thấy phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương là $x=2$.

Ta sẽ tìm nghiệm âm bằng cách biểu diễn thông qua hàm Lambert W.

Phương trình được viết lại:
$2^x-x=2 \Leftrightarrow 2^{2^x-x}=2^2$
$\Leftrightarrow 2^{2^x}2^{-x}=4 $
$\Leftrightarrow 2^{-2^x}2^{x}=\dfrac{1}{4}$
$\Leftrightarrow -2^{x}2^{-2^x}=-\dfrac{1}{4}$
$ \Leftrightarrow -\ln 2.2^{x}e^{-\ln 2.2^x}=-\dfrac{\ln 2}{4}$
Tác động hàm Lambert W lên hai vế và để ý số ở vế phải có giá trị thuộc khoảng $(-1/e; 0)$, ta được:
$ W(-\ln 2.2^{x}e^{-\ln 2.2^x})=W(-\dfrac{\ln 2}{4})$
$ \Leftrightarrow -\ln 2.2^{x}=W(-\dfrac{\ln 2}{4}) \ \ (*)$
$ \Leftrightarrow x=\log_2 \dfrac{W(-\dfrac{\ln 2}{4})}{-\ln 2} $
Nghiệm âm này có giá trị xấp xỉ
$-1.69009306761930946454538421611227...$

Lưu ý: Nếu để ý rằng $2^x=x+2\ \ \ \ $ thì từ phương trình (*) ta tính được $x=\dfrac{W(-\dfrac{\ln 2}{4})}{-\ln 2}-2.$

Xem thêm: Hàm Lambert W và tính chất

Theo FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.