Chứng minh $n(n+1)(n+2)(n+3)+1$ luôn là số chính phương

Một bài toán cấp 2 (thcs) về số chính phương được thảo luận sôi nổi trên group "Trao đổi Toán":

Bài toán.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $$a_n=n(n+1)(n+2)(n+3)+1$$ là số chính phương.

Lời giải.
Ta có:
$a_n= n(n+3).(n+1)(n+2)+1\\ =(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1\\ =(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1\\ =(n^2+3n+1)^2,\ \ \forall n\in \mathbb{N}.$
Vậy, với mọi số tự nhiên $n$ thì $n(n+1)(n+2)(n+3)+1$ luôn là số chính phương.

Theo Trao đổi Toán. Người đăng: Mr. Math.