Bài toán. (Wuon Ju Hoang)
Đặt $A=3+3^2+3^3+...+3^{30}$. Chứng minh $A$ chia hết cho $13$.
Lời giải 1. (Đăng Hiển)
Ta có: $3^3 \equiv 1 (\mod 26)$.Suy ra $3^{30}=(3^3)^{10} \equiv 1^{10} \equiv 1 (\mod 26)$,
hay $3^{30}-1$ chia hết cho $26$.
Do đó $A=3.\frac{3^{30} -1}{2}$ chia hết cho $13$.
Lời giải 2. (Wuon Ju Hoang)
Ta có$A= (3+3^2+3^3)+(3^4+3^5+3^6)+...+(3^{28}+3^{29}+3^{30}) \\ =3(1+3+3^2)+3^4(1+3+3^2)+...+3^{28}(1+2+3^2)$
Do $1+3+3^2=13$ nên $A$ chia hết cho $13$.
Tổng quát cho $3n$ số
Với mỗi $n\in \mathbb{N^*}$, đặt $$A_n=3+3^2+3^3+...+3^{3n}.$$ Khi đó $A_n \vdots 13, \forall n\in \mathbb{N^*}$.Theo Trao đổi Toán. Người đăng: Mr. Math.