Các kí hiệu
Cho tam giác $ABC$. Gọi $AD$ là đường phân giác trong của góc $A$. Ta kí hiệu độ dài các đoạn thẳng như sau: $$AB=c, BC=a, CA=b, AD=l_a.$$
Công thức 1
Độ dài đường phân giác trong của góc $A$ là
$$l_a= \frac{{2bc}}{{b + c}}\cos \frac{A}{2}.$$
Chứng minh.Ta có: $$dt(ABC)=dt(ABD)+dt(ACD)$$ nên:
$$\frac{1}{2}bc\sin A =\frac{1}{2} c l_a\sin \frac{A}{2} +\frac{1}{2} b l_a \sin \frac{A}{2}\\ \Rightarrow bc \sin A = l_a(b+c)\sin \frac{A}{2}\\ \Rightarrow l_a=\frac{{bc}}{{b + c}}\frac{\sin A}{\sin \frac{A}{2}}.$$ Mà $\sin A = 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}$ (công thức nhân đôi) nên từ đó ta có: $$l_a= \frac{{2bc}}{{b + c}}\cos \frac{A}{2}.$$
Tương tự ta có độ dài phân giác của các góc $B, C$ lần lượt là
$$l_b= \frac{{2ac}}{{a + c}}\cos \frac{B}{2}.$$ $$l_c= \frac{{2ab}}{{a + b}}\cos \frac{C}{2}.$$
Hệ quả
Áp dụng công thức hạ bậc $\cos^2 \dfrac{A}{2} =\dfrac{1+\cos A}{2}$, thay vào công thức trên thì ta được
$$l_a= \frac{{bc}}{{b + c}}\sqrt{2(1+\cos A)}.$$
Công thức 2
Tính độ dài đường phân giác theo (khi biết) độ dài ba cạnh của tam giác.
$$l_a^2=bc \left ( 1-\frac{a^2}{(b+c)^2}\right ).$$ hay $$l_a=\sqrt{bc \left ( 1-\frac{a^2}{(b+c)^2}\right )}.$$
Chứng minh 1. (Trần Công Hưng)Chứng minh 2. (Tào Hữu Huy)
Chứng minh 3. (xem trong file được nhúng phía dưới, nhiều cách)
Theo Wuon Ju Hoang/Trao đổi Toán.
Người đăng: Mr. Math.
Người đăng: Mr. Math.