Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và ví dụ áp dụng

Bài này nêu công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và một số ví dụ áp dụng.

Định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn với công bội $q \in (-1;1)$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Tóm lại, tổng $S$ của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ (với $|q|< 1 $) được tính theo công thức: $$S=\frac{u_1}{1-q}.$$

Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1. Tính tổng $$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...$$ Lời giải.

$S$ chính là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạn đầu $u_1=\frac{1}{2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.
Áp dụng công thức trên ta được $$S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1.$$ Minh hoạ và đoán nhận bằng hình ảnh

Ví dụ 2. Tính tổng $$S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...$$ Lời giải. Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=1; q=-\frac{1}{3}$ nên $$S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}.$$
Ví dụ 3. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn $0,777...$ dưới dạng phân số.

Lời giải. Ta có $$0,777...=0,7+0,07+0,007+...\\ =\frac{7}{10}+\frac{7}{10^2}+\frac{7}{10^3} +...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{7}{9}.$$ Vậy $0,777...=\dfrac{7}{9}.$

Theo SGK Toán 11. Người đăng: Mr. Math.