Một số cách định nghĩa TÍCH VÔ HƯỚNG của hai vectơ

Trong chương trình Hình học ở THPT hiện hành, tích vô hướng của hai vectơ được sách giáo khoa định nghĩa như sau:

Định nghĩa tích vô hướng ở SGK

$$\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|.\cos (\vec{a},\vec{b}) \ \ (*)$$ Cần lưu ý rằng kí hiệu tích vô hướng $\vec{a}.\vec{b}$ nhất thiết phải có dấu "." ở giữa hai vectơ.

Một số định nghĩa tương đương

Ngoài cách trên, ta còn có 3 cách định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ như sau:
(a) $\vec{a}.\vec{b}=\dfrac{1}{2}\left (|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-|\vec{a}-\vec{b}|^2 \right ).$
(b) $\vec{a}.\vec{b}=\dfrac{1}{2}\left ( |\vec{a}+\vec{b}|^2-|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2 \right ).$
(c) $\vec{a}.\vec{b}=\dfrac{1}{4}\left ( |\vec{a}+\vec{b}|^2-|\vec{a}-\vec{b}|^2 \right ).$

Ba cách nói trên có ưu điểm là chỉ sử dụng độ dài vectơ mà không dùng đến góc như trong định nghĩa ở SGK.

Ta có thể chứng minh $(*)\Leftrightarrow (a) \Leftrightarrow (b) \Leftrightarrow (c)$ (dành cho bạn đọc). Nếu dùng 1 trong 4 đẳng thức làm định nghĩa thì 3 cái còn lại là định lí.

Ví dụ áp dụng

Cho tam giác $ABC$ với độ dài các cạnh $AB=c, BC=a, CA=b$.

Khi đó, nếu áp dụng "định nghĩa" (a), ta có: $\vec{AB}.\vec{AC}=\dfrac{1}{2}\left (|\vec{AB}|^2+|\vec{AC}|^2-|\vec{AB}-\vec{AC}|^2 \right )\\ =\dfrac{1}{2}\left (c^2+b^2-|\vec{CB}|^2 \right )\\ =\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}.$

Tài liệu nguồn: sách giáo viên hình học lớp 10 nâng cao, bộ giáo dục và đào tạo, nxb giáo dục.

Theo SGV Hình học 10. Người đăng: Mr. Math.