Đề bài toán
Cho $p, q$ là các số tự nhiên lớn hơn $1$. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=\cos^px.\sin^qx$ trên đoạn $[0,\frac{\pi}{2}]$.(Câu V - đề thi môn Toán vào ĐHBK Hà Nội năm 1996.)
với $x\in [0;\pi/2]; p, q \in \mathbb{N^*}$
Lời giải 1
Lưu ý. Hãy xoay ngang màn hình điện thoại nếu bị tràn công thức toán.Với mọi $x\in [0;\pi/2]$ thì ta có $y\ge 0$. Do đó ta sẽ tìm $\max$ của $y^2=\cos^{2p}x.\sin^{2q}x$, sau đó suy ra $\max$ của $y$.
Ta có:
$y^2=(\cos^2x)^p.(\sin^2x)^q=p^p.q^q.\underset{p \text{ thừa số }}{\underbrace{\frac{\cos^2x}{p}...\frac{\cos^2x}{p}}}.\underset{q \text{ thừa số }}{\underbrace{\frac{\sin^2x}{q}...\frac{\sin^2x}{q}}}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho $p+q$ số không âm ở trên ta có:
$y^2\le p^pq^q.\frac{1}{(p+q)^{p+q}} \left (\frac{\cos^2x}{p}+...+\frac{\cos^2x}{p}+\frac{\sin^2x}{q}+...+\frac{\sin^2x}{q} \right )^{p+q}=\frac{p^pq^q}{(p+q)^{p+q}}$
Dấu "$=$" xảy ra khi $\frac{\cos^2x}{p}=\frac{\sin^2x}{q}$ khi $x=\arctan\sqrt{\frac{q}{p}}\in (0;\pi/2)$.
Vậy $\displaystyle \max_{[0;\pi/2]} y = \sqrt{\frac{p^pq^q}{(p+q)^{p+q}}}.$
Lời giải 2
Đặt $t=\sin^2x, t \in [0;1]$, ta viết lại$y^2=(1-\sin^2x)^p(\sin^2x)^q=(1-t)^p.t^q$.
Xét hàm $f(t)=(1-t)^p.t^q$ trên đoạn $[0;1]$.
Đạo hàm $f'(t)=(1-t)^{p-1}t^{q-1}\left (q-(p+q)t\right ).$
Nghiệm của phương trình $f'(t)=0$ trên khoảng $(0;1)$ là $t=\frac{q}{p+q}$.
Ta tính được $f(0)=f(1)=0$ và $f(\frac{q}{p+q})=\frac{p^pq^q}{(p+q)^{p+q}}$.
Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của $y$ trên đoạn $[0;\pi/2]$ là $\sqrt{\frac{p^pq^q}{(p+q)^{p+q}}}$, đạt được tại $x=\arcsin \sqrt{\frac{q}{p+q}}$.
Bên lề. Từ chỗ "dấu bằng xảy ra" ở 2 lời giải trên, ta có đẳng thức sau: $$\arcsin \sqrt{\frac{q}{p+q}}=\arctan\sqrt{\frac{q}{p}}$$ với $p, q >0$.
Theo FB MathVN. Người đăng: Mr. Math.