Với hai số phức z và w, chứng minh z.w = 0 ⇔ z = 0 ∨ w = 0

Trong bài này ta chứng minh một số tính chất cơ bản của số phức.

Bài toán 1.

Với $z,w$ là các số phức, chứng minh rằng
1) $|z.w|=|z|.|w|.$
2) $|z|=0 \Leftrightarrow z=0.$

Lời giải.

1) Gọi $z=a+bi, w=c+di$ trong đó $a,b,$ $c,d \in \mathbb{R}$.
Khi đó ta có: $z.w=(ac-bd)+(ad+bc)i$ nên
$|z.w|=\sqrt{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}\\ =\sqrt{a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2}\\=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}\\ =\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{c^2+d^2}=|z|.|w|.$

2) Gọi $z=a+bi$ trong đó $a,b \in \mathbb{R}$.
$|z|=0 \Leftrightarrow \sqrt{a^2+b^2}=0\Leftrightarrow a=b=0 \Leftrightarrow z=0.$

Bài toán 2.

Với hai số phức $z, w$. Chứng minh rằng $$z.w=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} z&= 0 \\ w &= 0 \end{matrix} \right. .$$

Lời giải 1.

Áp dụng hai tính chất ở Bài toán 1, ta có
$z.w=0 \Leftrightarrow |z.w|=0 \Leftrightarrow |z|.|w|=0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} |z|&= 0 \\ |w| &= 0 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} z&= 0 \\ w &= 0 \end{matrix} \right. .$

Lời giải 2.

Viết các số phức dưới dạng lượng giác $z=r(\cos t+ i \sin t), w=r'(\cos t'+ i \sin t')$ trong đó $r,r' \ge 0$ và $t,t' \in \mathbb{R}$.

Khi đó $z.w=r.r'(\cos (t+t')+ i \sin (t+t')).$
Vì $\cos u$ và $\sin u$ không thể cùng đồng thời bằng $0$ nên
$z.w=0 \Leftrightarrow r.r'=0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} r&= 0 \\ r' &= 0 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} z&= 0 \\ w &= 0 \end{matrix} \right. .$