Bài toán.
Giải phương trình lượng giác sau
Lời giải. (Hồ Xuân Đức)
Điều kiện: $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x\ne k\pi, k \in \mathbb{Z}$.Xét hàm số $$f(t)=\dfrac{\sin t}{t}, t \in D=[-1;0)\cup (0;1]. $$ Dùng đạo hàm, ta chứng minh được $f$ đồng biến trên $[-1;0)$ và nghịch biến trên $(0;1]$.
Ta có $f(-1)=f(1)=\sin 1$. Vì vậy $$f(t)\ge \sin 1, \forall t \in D.$$ Từ đây suy ra
$\dfrac{\sin(\sin x)}{\sin x}=f(\sin x)\ge \sin 1, \forall x \ne k\pi, k\in \mathbb{Z}.$
Mặt khác ta có hàm $y=\sin x$ đồng biến trên $[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$ và $\sin (\frac{x}{\sin x}) \in [-1;1] \subset [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ nên $$\sin\left(\sin \left(\frac{x}{\sin x}\right)\right) \le \sin 1, \forall x\ne k\pi, k\in \mathbb{Z}.$$ Từ hai điều trên ta có: $$\frac{\sin(\sin x)}{\sin x}\ge \sin 1 \ge \sin\left(\sin \left(\frac{x}{\sin x}\right)\right),$$ với mọi $x\ne k\pi, k\in \mathbb{Z}.$
Vì vậy phương trình đã cho tương đương với $$\begin{cases} \dfrac{\sin(\sin x)}{\sin x}&= \sin 1\\ \sin\left(\sin \left(\frac{x}{\sin x}\right)\right)&= \sin 1 \end{cases}$$ Từ hệ này ta tìm được
$$\sin x=\pm 1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in \mathbb{Z}.$$ Các nghiệm này thỏa điều kiện của phương trình.
Minh hoạ đồ thị
Theo FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.