Câu phương trình lượng giác gồm 6 chữ sin gây khó cho nhiều người

Trên group Trao đổi Toán, một câu phương trình lượng giác gồm nhiều chữ sin lồng nhau gây khó cho nhiều thành viên.

Bài toán.

Giải phương trình lượng giác sau

Lời giải. (Hồ Xuân Đức)

Điều kiện: $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x\ne k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Xét hàm số $$f(t)=\dfrac{\sin t}{t}, t \in D=[-1;0)\cup (0;1]. $$ Dùng đạo hàm, ta chứng minh được $f$ đồng biến trên $[-1;0)$ và nghịch biến trên $(0;1]$.

Ta có $f(-1)=f(1)=\sin 1$. Vì vậy $$f(t)\ge \sin 1, \forall t \in D.$$ Từ đây suy ra
$\dfrac{\sin(\sin x)}{\sin x}=f(\sin x)\ge \sin 1, \forall x \ne k\pi, k\in \mathbb{Z}.$

Mặt khác ta có hàm $y=\sin x$ đồng biến trên $[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$ và $\sin (\frac{x}{\sin x}) \in [-1;1] \subset [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ nên $$\sin\left(\sin \left(\frac{x}{\sin x}\right)\right) \le \sin 1, \forall x\ne k\pi, k\in \mathbb{Z}.$$ Từ hai điều trên ta có: $$\frac{\sin(\sin x)}{\sin x}\ge \sin 1 \ge \sin\left(\sin \left(\frac{x}{\sin x}\right)\right),$$ với mọi $x\ne k\pi, k\in \mathbb{Z}.$

Vì vậy phương trình đã cho tương đương với $$\begin{cases} \dfrac{\sin(\sin x)}{\sin x}&= \sin 1\\ \sin\left(\sin \left(\frac{x}{\sin x}\right)\right)&= \sin 1 \end{cases}$$ Từ hệ này ta tìm được
$$\sin x=\pm 1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in \mathbb{Z}.$$ Các nghiệm này thỏa điều kiện của phương trình.

Minh hoạ đồ thị


Theo FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.

Đăng nhận xét

Please Select Embedded Mode To Show The Comment System.*

Mới hơn Cũ hơn