Hằng đẳng thức đáng nhớ thứ 7
Với mọi số thực $a,b$ ta có $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$
Chứng minh hằng đẳng thức thứ 7
Biến đổi vế phải
$(a-b)(a^2+ab+b^2)\\= a(a^2+ab+b^2)-b(a^2+ab+b^2)\\
=a^3+a^2b+ab^2-(ba^2+ab^2+b^3)\\ =a^3-b^3.$
ta được vế trái.
Áp dụng hằng đẳng thức thứ 7
Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử $P(x)=x^3-27$.
Giải.
Áp dụng hằng đẳng thức thứ 7 cho $a=x$ và $b=3$ ta được
$P(x)=x^3-3^3\\=(x-3)(x^2+x.3+3^2)\\=(x-3)(x^2+3x+9).$
Ví dụ 2. Phân tích đa thức $Q(x)=8x^3-1$ thành nhân tử.
Giải.
Ta có $Q(x)=8x^3-1=2^3x^3-1=(2x)^3-1^3.$
Áp dụng hằng đẳng thức thứ 7 cho $a=2x$ và $b=1$ ta được
$Q(x)=(2x)^3-1^3\\=(2x-1)[(2x)^2+2x.1+1^2]\\=(2x-1)(4x^2+2x+1).$