Bài viết này sẽ giới thiệu chứng minh "e là một số vô tỉ" của Fourier.
Nhắc lại: Số e là gì?
Ta đã biết $$e = \lim _{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n} \approx 2.718281828459.$$Ngoài ra, dạng khai triển Euler của số $e$ là: $$e= \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}} \ \ (*)$$
Xem thêm các đẳng thức liên quan đến số e.
Chứng minh e là số vô tỉ
Giả sử rằng $e$ là số hữu tỉ. Khi đó tồn tại các số nguyên dương $a$ và $b$ sao cho $e = \frac{a}{b}.$
Đặt $$x=b!{\biggl (}e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )} \ \ (**)$$
Thay $e = \frac{a}{b} \ \ $ vào biểu thức trên ta được:
$$x=b!\,{\biggl (}{\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}=a(b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}$$
Số hạng đầu tiên là số nguyên, các số hạng tiếp theo nguyên bởi vì $n ≤ b$, vậy nên $x$ là số nguyên.
Mặt khác, nếu thay $e$ ở (*) vào (**) ta được:
$$x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}} > 0.$$
Với mọi $n > b + 1$ ta luôn có: $\frac{b!}{n!} < \ {\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}. \\ $ Do đó, sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ta được:
$$x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}} < \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{k}}}={\frac {1}{b+1}}{\biggl (}{\frac {1}{1-{\frac {1}{b+1}}}}{\biggr )}={\frac {1}{b}} \leq 1.$$ Như vậy $0 < x < 1$. Điều này mâu thuẩn với $x$ là số nguyên. Mâu thuẩn này dẫn đến $e$ không thể là số hữu tỉ. Vậy $e$ là một số vô tỉ.
Người đăng: Sơn Phan.
Xem thêm: Chứng minh Pi là số vô tỉ / Chứng minh căn 2 là số vô tỉ.