Bằng cách khảo sát riêng lẻ khai triển b-phân của số nguyên n và của phần lẻ {x}, ta thấy số thực x có khai triển b-phân (khai triển đó là duy nhất nếu ta bổ sung thêm một số điều kiện lên khai triển của phần lẻ). Khai triển b-phân có nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn, đặc biệt trong công nghệ thông tin, người ta quan tâm đến khai triển nhị phân (b = 2). Trong khai triển nhị phân, mỗi chữ số chỉ nhận một trong hai giá trị 0; 1, điều này phù hợp với đặc tính của máy tính: mỗi bit chỉ có hai trạng thái “có” hay “không có” điện! Các bài toán số học về khai triển b-phân thường là các bài toán hay (và khó) nên cũng thường được khai thác trong các kì thi học sinh giỏi và Olympiad (khu vực, quốc tế). Trong bài viết này, tác giả trình bày một số ứng dụng của khai triển b-phân trong các bài toán sơ cấp.
Ta thường quen biểu diễn số nguyên qua tổng các lũy thừa của 10 (biểu diễn thập phân). Thực ra không có lí do gì đặc biệt quyết định việc đó (ngoài việc chúng ta có mười ngón tay?!). Có nhiều dân tộc dùng những hệ đếm khác: người Babylonia dùng cơ số 60. Các bộ tộc thời cổ đại thường dùng cơ số 5, tương ứng với việc đếm trên 5 ngón tay. Hiện nay, người Trung Hoa và người Nhật Bản vẫn còn dùng các bàn tính gẩy dựa trên hệ đếm cơ số 5. Người Maya cổ đại sử dụng cơ số 20, và cho đến ngày nay, ở Đan Mạch và Pháp người ta vẫn sử dụng cơ số 20. Cơ số 12 được sử dụng nhiều ở Anh. Máy tính điện tử thì dùng cơ số 2, 8, 16, …
Trong phần này, ta sẽ chứng tỏ rằng mọi số nguyên lớn hơn 1 đều có thể dùng làm cơ số.
Tác giả Trương Hồ Thiên Long. Người đăng: Dịu.