Đề bài
Giải phương trình $$8^x+3^x=7^x+4^x.$$
Cách giải 1
Giả sử $\alpha$ là một nghiệm (thực) của phương trình, tức là ta có $$8^\alpha+3^\alpha=7^\alpha+4^\alpha\Leftrightarrow 8^\alpha-7^\alpha=4^\alpha-3^\alpha \ \ (*)$$
Xét hàm số $f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$ xác định bởi $f(t)=(t+1)^\alpha-t^\alpha$.
Hàm $f$ có đạo hàm trên $(0,+\infty)$, với
$$f'(t)=\alpha(t+1)^{\alpha-1}-\alpha t^{\alpha-1}.$$
Từ $(*)$ ta có $f(7)=f(3)$, do đó theo định lí Lagrange (thực ra chỉ cần dùng định lí Rolle), tồn tại $c\in (3;7)$ sao cho $$0=f'(c)=\alpha(c+1)^{\alpha-1}-\alpha c^{\alpha-1}.$$
Suy ra $\alpha[(c+1)^{\alpha-1}-c^{\alpha-1}]=0 \Rightarrow \alpha =0 \vee \alpha =1$.
Thử lại ta thấy $0$ và $1$ nghiệm đúng phương trình.
Vậy tập nghiệm của phương trình ban đầu là $S=\{0;1\}$.
Cách giải 2
Xét hàm số $f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$ xác định bởi
$f(t) = (t+1)^x - t^x$, với $x$ là tham số.
Ta cần tìm tham số $x$ sao cho $f(7)=f(3)$.
Ta có
$$f'(t) = x[(t+1)^{x-1}-t^{x-1}], \forall t>0.$$
+ Nếu $x=0$ hoặc $x=1$ thì $f'(t)=0,\forall t>0$ hay $f(t)$ là hàm hằng trên $(0,+\infty)$. Do đó $x=0$ và $x=1$ là hai nghiệm của phương trình đã cho.
+ Nếu $x>1$ thì $(t+1)^{x-1}>t^{x-1},\forall t>0$ nên $f'(t)>0, \forall t>0$, tức $f$ đồng biến trên $(0,+\infty)$. Do đó $f(7)>f(3)$.
+ Lập luận tương tự cho trường hợp $x<0$, ta có $f(7)>f(3)$; còn với trường hợp $x\in(0;1)$ thì $f(7)< f(3)$.
Tóm lại, phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm $0$ và $1$.
Theo FB MathVN. Người đăng: Mr. Math.