Đề bài
Câu 1. (Đề chọn học sinh giỏi Quảng Bình năm học 2018-2019, tháng 3/2019)Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n>1$, ta có : $\log_n(n+1)>\log_{n+1}(n+2).$
Câu 2. (Đề chọn học sinh giỏi Quảng Bình năm học 2019-2020, tháng 12/2019)
Cho các số thực phân biệt $a,b >1$ . Chứng minh rằng: $\log_a(\log_a b)>\log_b(\log_a b).$
Câu 3. (Đề chọn học sinh giỏi Quảng Bình năm học 2019-2020, tháng 12/2019)
Cho $n$ số thực $a_1>a_2>...>a_n>1, n \geq 2.$
Chứng minh rằng:
$\log_{a_1}(\log_{a_1}a_2) + \log_{a_2}(\log_{a_2}a_3) + ... + \log_{a_{n-1}}(\log_{a_{n-1}}a_n)+\log_{a_n}(\log_{a_n}a_1)>0.$
Lời giải
Câu 1.
Cách 1.
Xét hàm số $f(t)=\log_t(t+1), \ \ t \in (1;+\infty).$
Ta viết lại $f(t)=\frac{\ln(t+1)}{\ln t}.$
Ta có: $f'(t)=\frac{t\ln t-(t+1)\ln(t+1)}{t(t+1)\ln^2t}<0, \forall t \in (1;+\infty).$
Do đó $f$ nghịch biến trên $(1;+\infty)$.
Suy ra $f(n)>f(n+1)$, hay $\log_n(n+1)>\log_{n+1}(n+2), \ \forall n>1.$Cách 2. (của bạn Xuân Tùng)
Áp dụng bđt Cauchy: $\log_n^2(n+1)+1 \geq 2\log_n(n+1)=\log_n(n^2+2n+1)>\log_n(n^2+2n)=\log_n(n+2)+1$
Suy ra $\log_n^2(n+1) > \log_n(n+2) \Rightarrow \log_n(n+1)>\frac{\log_n(n+2)}{\log_n(n+1)}=\log_{n+1}(n+2).$
Cách 3. (của bạn Nguyên An)
Ta có $\log_n(n+1)+\log_{n+1}n \geq 2\sqrt{\log_n(n+1)\log_{n+1}n} \ \ =2.$
Trong khi
$\log_{n+1}(n+2)+\log_{n+1}n=\log_{n+1}(n^2+2n) < \log_{n+1}(n+1)^2=2.$
Suy ra điều phải chứng minh.
Câu 2. Đặt $t=\log_a b \Rightarrow b=a^t.$
Do $a, b>1$ nên $t >0, t \neq 1.$
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành $\log_at>\log_{a^t}t \Leftrightarrow (t-1)\log_at>0.$
- Nếu $t>1$ thì $t-1>0$ và $\log_at >0.$
- Nếu $0<$ $t <1$ thì $t-1< 0$ và $\log_at < 0$
Cả hai trường hợp đều chứng tỏ bất đẳng thức cuối cùng đúng. Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh.
Theo FB MathVn. Người đăng: Sơn Phan.