Chứng minh bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (Bunyakovsky) và các hệ quả, sự làm chặt

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz còn gọi là bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz (BĐT CBS - viết tắt của tên 3 nhà toán học này; ở Việt Nam nhiều người quen dùng với cái tên Bunhiacopxki) được dùng nhiều trong toán học sơ cấp. Với tư cách là hai hòn đá tảng để nhiều kết luận quan trọng khác của toán học dựa vào, cặp bất đẳng thức AM-GM, Cauchy-Schwarz được sử dụng khá phổ biến ở phần lớn các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Ngoài ra một số hệ quả của cặp bất đẳng thức này có thể vận dụng để giải hàng loạt các bài toán thú vị về cực đại và cực tiểu.

Bất đẳng thức CBS (Cauchy - Bunyakovsky - Schwartz)

Chứng minh bất đẳng thức CBS

Hiện nay bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cũng có khá nhiều cách chứng khác nhau, tất cả các cách chứng minh đó đều ngắn gọn đặc sắc, xin giới thiệu một cách chứng minh trong số những cách chứng minh đã có như sau.

Hệ quả của bất đẳng thức CBS

Từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz suy ra hai hệ quả để sử dụng trong bài viết này:

Làm chặt bất đẳng thức CBS

Bây giờ ta sử dụng 2 hệ quả trên để làm chặt bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Theo Ngô Văn Thái (Epsilon). Người đăng: Sơn Phan.