Chứng minh và làm chặt bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)

Trong bài viết trước, ta đã biết một chứng minh ngắn gọn cho bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức AM-GM: trung bình cộng và trung bình nhân). Bài này giới thiệu một chứng minh khác, và qua chứng minh này ta có thể "làm chặt" hơn bất đẳng thức nổi tiếng và được học sinh sử dụng nhiều nhất này.

Bất đẳng thức AM-GM là một bất đẳng thức cơ bản kinh điển quan trọng nhất của toán học sơ cấp, vì nó đã có khá nhiều cách chứng minh được đưa ra, hàng chục mở rộng, hàng chục kết quả chặt hơn đăng trên các diễn đàn toán học. Phần này tôi xin giới thiệu một kết quả chặt hơn bất đẳng thức AM-GM khác được suy ra từ chính cách chứng minh mới bất đẳng thức AM-GM (Cauchy - Cô-si).

Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy)

Chứng minh bất đẳng thức Cauhy

Làm chặt bất đẳng thức AM-GM

Như vậy từ bất đẳng thức (2) chúng ta đã có thêm một cách chứng minh mới bất đẳng thức AM-GM khá gọn, ngoài ra khi sử dụng bất đẳng thức (2) lại dễ dàng rút ra được kết quả chặt hơn bất đẳng thức AM-GM sau đây.

Theo Ngô Văn Thái (Epsilon). Người đăng: Sơn Phan.