Chứng minh công thức sin¹⁰x + cos¹⁰x=(63+60cos 4x+5cos 8x)/128

Bài này sẽ giới thiệu một bài tập áp dụng công thức hạ bậc trong lượng giác để biến đổi, chứng minh một đẳng thức liên quan đến sin¹⁰x, cos¹⁰x.

Bài toán. Chứng minh công thức lượng giác sau

Lời giải.
Dùng công thức hạ bậc và khai triển nhị thức Newton, ta có:
$\sin^{10}x=(\sin^2 x)^5=(\dfrac{1-\cos 2x}{2})^5\\ =\dfrac{1}{32}(1-5\cos 2x+10\cos^2 2x-10\cos^3 2x+5\cos^4 2x-\cos^5 2x)$
và
$\cos^{10}x=(\cos^2 x)^5=(\dfrac{1+\cos 2x}{2})^5\\ =\dfrac{1}{32}(1+5\cos 2x+10\cos^2 2x+10\cos^3 2x+5\cos^4 2x+\cos^5 2x)$
Suy ra
$\sin^{10}x+\cos^{10}x=\dfrac{1}{32}(2+20\cos^2 2x+10\cos^4 2x)$
$=\dfrac{1}{32}(2+20\dfrac{1+\cos 4x}{2}+10\dfrac{(1+\cos 4x)^2}{4})\\ =\dfrac{1}{32}(2+10+\dfrac{10}{4}+15\cos 4x+\dfrac{10}{4}.\dfrac{1+\cos 8x}{2})\\ =\dfrac{63+60\cos 4x+5\cos 8x}{128} $
Vậy công thức được chứng minh.

Kiến thức dùng trong bài:
- Công thức hạ bậc: mathvn.com/2013/11/xem-bang-cong-thuc-luong-giac-ay-u.html
- Công thức khai triển nhị thức Newton: mathvn.com/2021/06/cong-thuc-khai-trien-xyn-nhi-thuc-newton.html

Theo FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.