Giải phương trình vô tỉ $x^2=\sqrt{2x-1}$

Ta xét một phương trình vô tỉ với hình thức trông khá đơn giản như sau.

Đề bài toán

Giải phương trình $ x^2=\sqrt{2x-1}$.

Lời giải

Điều kiện: $x\ge 1/2$.
Bình phương hai vế ta được
$x^4=2x-1 \Leftrightarrow x^4-1=2x-2\\ \Leftrightarrow (x-1)(x^3+x^2+x+1)=2(x-1)\\ \Leftrightarrow (x-1)(x^3+x^2+x-1)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x &= 1 & \ \ \ \\ x^3+x^2+x-1 &= 0 & (*)\\ \end{matrix} \right.$
Để giải phương trình $(*)$ ta đặt $x=y-\dfrac{1}{3}$ và đưa về phương trình bậc 3 dạng "chuẩn tắc": $$y^3+\frac{2}{3}y-\frac{34}{27}=0.$$ Áp dụng công thức Cardano, ta tính được nghiệm thực $$y=\frac{\sqrt[3]{3 \sqrt{33}+17}- \sqrt[3]{3 \sqrt{33}-17}}{3}.$$ Từ đó suy ra $$x=\frac{\sqrt[3]{3 \sqrt{33}+17}- \sqrt[3]{3 \sqrt{33}-17}}{3}-\frac{1}{3}.$$ Nghiệm này thoả mãn điều kiện $x \ge 1/2$ ở đầu bài.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x=1$ và $$x=\frac{\sqrt[3]{3 \sqrt{33}+17}- \sqrt[3]{3 \sqrt{33}-17}-1}{3}.$$

Minh họa đồ thị

Thử lại với siêu máy tính

Lưu ý: $\dfrac{2}{\sqrt[3]{17 + 3 \sqrt{33}}} =\sqrt[3]{3 \sqrt{33}-17}$.

Xem thêm: Công thức Cardano tìm nghiệm của phương trình bậc ba tổng quát

Theo FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.