Công thức Cardano cho phương trình bậc 3 chuẩn tắc
Công thức tìm nghiệm của phương trình bậc ba dạng "chuẩn tắc" trong trường số phức $$x^3+px+q=0$$ được nhà toán học Cardano (Các-đa-nô, người Ý) tìm ra $$x= \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left (\frac{q}{2} \right) ^{2} +\left (\frac{p}{3} \right) ^{3} }} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} – \sqrt{\left (\frac{q}{2} \right) ^{2} +\left (\frac{p}{3} \right) ^{3} }}.$$ Công thức nghiệm này được Cardano công bố năm 1545 trong cuốn "Nghệ thuật lớn của phép giải các phương trình đại số".
Lưu ý: Xoay ngang màn hình điện thoại nếu công thức toán bị tràn.
Phương pháp Cardano đưa phương trình bậc 3 tổng quát về dạng chuẩn tắc
Xét phương trình bậc 3 tổng quát $$a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0, \ a_3 \ne 0.$$ Chia hai vế của phương trình cho $a_3$ và đặt $a=\dfrac{a_{2}}{a_{3}}, b=\dfrac{a_{1}}{a_{3}}, c=\dfrac{a_{0}}{a_{3}}$, ta đưa phương trình về dạng $$x^{3}+ ax^{2} + bx + c= 0.$$ Tiếp tục đặt $x=y-\dfrac{a}{3}$ và thay vào ta được $$\left(y- \frac{a}{3}\right)^{3}+ a\left(y- \frac{a}{3}\right)^{2} + b\left (y- \frac{a}{3}\right) + c = 0$$ $$ \Leftrightarrow y^{3}+ \left(b-\frac{a^{2}}{3}\right)y + \left(\frac{2a^{3}}{27} – \frac{ab}{3} + c\right) = 0.$$ Bằng cách đặt $p = b-\dfrac{a^{2}}{3}$ và $q = \dfrac{2a^{3}}{27} – \dfrac{ab}{3} + c$ ta đã đưa phương trình ban đầu về dạng bậc 3 chuẩn tắc như sau: $$y^{3} + py +q = 0.$$ Như vậy, mọi phương trình đa thức bậc 3 (dạng tổng quát) đều có thể đưa về dạng chuẩn tắc, sau đó áp dụng công thức Cardano ở trên để tìm được tất cả các nghiệm trong trường số phức.Người đăng: Mr. Math.