i) $|A|=|B|$
ii) $\sum_{x\in A}x=\sum_{x\in B}x$
iii) $\sum_{x\in A}x^2=\sum_{x\in B}x^2$
Lời giải
Lưu ý: $\binom{2000}{1000}$ là số hạng lớn nhất trong các số hạng $\binom{2000}{k}$.
Gọi S là tất cả tập con của tập {$n_1,n_2,..n_{2000}$} sao cho S có 1000 phần tử, ta có:
$0< \sum_{x\in S}x<1000.10^{100}$
$0< \sum_{x\in S}x^2<1000.10^{200}$
Vậy số các cặp $( \sum_{x\in S}x, \sum_{x\in S}x^2)$ ít hơn $10^{306}$
Mặt khác:
Số tập hợp chứa 1000 phần tử là: $\binom{2000}{1000}>\frac{\sum_{k=0}^{2000}\binom{2000}{k}}{2001}> \frac{2^{2000}}{2001}> \frac{10^{600}}{2001}>10^{306}$
Nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại hai tập hợp C và D chứa 1000 phần tử sao cho $( \sum_{x\in C}x, \sum_{x\in C}x^2)=( \sum_{x\in D}x, \sum_{x\in D}x^2)$
Loại bỏ các phần tử chung của C và D ta thu được hai tập A và B thỏa mãn điều kiện đề bài.