Phương pháp uct trong bất đẳng thức

Bài 1: (Iran TST 2016): Cho bốn số thực dương 
$a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{1}{d+1}=2.$

Chứng minh: $\sqrt{\frac{a^2+1}{2}} +\sqrt{\frac{b^2+1}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+1}
{2}}+\sqrt{\frac{d^2+1}{2}} +8 \geqslant 3(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}).$

Lời giải:

Ta thấy có thể tách a,b ,c không ràng buộc với nhau và có thể đánh giá từng vế, nên ta cần tìm x và y sao cho:

$\sqrt{\frac{a^2+1}{2}} - 3\sqrt{a} \ge \frac{x}{a+1}+y$ (1)

Tương tự với b,c ta được: $2x+4y=-8$

Ngoài ra dấu bằng của $(1)$ xảy ra  khi $a=b=c=d=1$ thay vào trên ta lại có hệ:

$f'(a)=0$ với $f(a)=\sqrt{\frac{a^2+1}{2}} - 3\sqrt{a} -\frac{x}{a+1}$

Giải được $x=-y=4$

ta sẽ cm $\sqrt{\frac{a^{2}+1}{2}}-3\sqrt{a}\geq \frac{4}{a+1}-4$

$\Leftrightarrow \frac{(a+1)(a-1)^{2}}{2(\sqrt{\frac{a^{2}+1}{2}}+\sqrt{a})}-2\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)^{2}\geq 0$

do $\sqrt{\frac{a^{2}+1}{2}}+\sqrt{a}\leq a+1$

nên ta cần cm $(\sqrt{a}-1)^{2}(\frac{(\sqrt{a}+1)^{2}}{2}-2\sqrt{a})\geq 0$(luôn đúng)

thiết lập các bất đẳng thức tương tự ta có đpcm

Bài 2: (Austrian 2016). Cho ba số thực 

$a,b,c⩾-1$ thỏa mãn điều kiện $a^3+b^3+c^3=1.$ Chứng minh rằng$$a+b+c+a^2+b^2+c^2⩽4.$$

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Lời giải:

Sử dụng bất đẳng thức $a^2+a-a^3-1\leq 0\Leftrightarrow (a+1)(a-1)^2\geq 0$

Xây dựng các bất đẳng thức tượng tự rồi cộng lại ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(a,b,c)=(1,1,-1)$ và các hoán vị.