$\boxed{\text{Bài toán}}$(Serbia 2016) Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AH$ và tâm nội tiếp $I$. $IB,IC$ cắt $AH$ tại $M,N$. $K,L$ là tâm ngoại tiếp tam giác $MAB,NAC$. $R,Q$ là trung điểm $IB,IC$. Lấy $P$ sao cho $PR\perp NL,PQ\perp MK$. Một tiếp tuyến thay đổi của đường tròn Euler của tam giác $IBC$ cắt $PQ,PR$ tại $S,T$. $X$ đối xứng $P$ qua $S,T$. Chứng minh rằng đường tròn $(XST)$ luôn tiếp xúc một đường tròn cố định khi tiếp tuyến thay đổi.
Lời giải:
$\boxed{\text{Bổ đề 1}}$ Cho tam giác $ABC$ có $O$ là tâm ngoại tiếp. Một đường tiếp tuyến với $\odot (BOC)$ cắt $AB$ ở $D$ và $CA$ ở $E$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng của điểm $A$ qua $DE$. Khi đó $\odot (A'DE)$ tiếp xúc $\odot (ABC)$.
Chứng minh. Gọi $X$ là tiếp điểm $BX,CX$ cắt $\odot (O)$ tại $K,L.KE,LD$ cắt nhau tại $S$. Theo định lí $Pascal$ đảo thì $S$ thuộc $\odot (O)$
Biến đổi góc: $\angle DSE=\angle LCK=\angle BXC-\angle BKC=\angle BOC-\angle BAC=\angle BAC=\angle DA'E$
$\Longrightarrow D,S,A',E$ đồng viên.
Mặt khác: $\angle EXC=\angle KBC=\angle ESC$ nên $E,L,S,C$ đồng viên.
$\Longrightarrow E,X,S,C$ đồng viên.
$\Longrightarrow \angle DES=\angle XCS=\angle LKS$
$\Longrightarrow DE\parallel KL$
$\Longrightarrow \odot (DSE)$ tiếp xúc $\odot (DLK)$ hay $\odot (A'DE)$ tiếp xúc $\odot (ABC).\blacksquare$
$\boxed{\text{Bổ đề 2}}$ Cho tam giác $IBC.Q,R$ lần lượt là trung điểm $IC,IB$. Kí hiệu $\omega $ là đường tròn $Euler$ của $\triangle IBC.PR,PQ$ cắt $\omega $ tại $F,E$. Khi đó tâm $\odot (PEF)$ thuộc $\omega $.
Chứng minh. Gọi $I'$ là trung điểm $BC$.
Ta có $\angle RPE=180^\circ-\angle RIQ=180^\circ-\angle RI'Q=180^\circ-\angle REQ=\angle REP$
$\Longrightarrow \angle FRE=2\angle FPE\Longrightarrow $ tâm $\odot (PEF)$ thuộc $\omega .\blacksquare$
Quay lại bài toán.
Ta có $\angle IQP=90^\circ-\angle IMN+\angle AMK=90^\circ-\angle B/2+\angle C/2$. Tương tự $\angle IRP=90^\circ-\angle C/2+\angle B/2$.
Gọi $E,F$ lần lượt là giao của $PQ,PR$ với đường tròn $Euler$ của tam giác $IBC$. Theo bổ đề $2$ ta suy ra tâm $\odot (PEF)$ thuộc đường tròn $Euler$ của tam giác $IBC$. Theo bổ đề $1$ ta suy ra $\odot (PEF)$ tiếp xúc $\odot (XST).\blacksquare$