Định lý Hansen được phát biểu như sau (tham khảo trong Một số kiến thức về hình học phẳng trong các cuộc thi OLYMPIC Toán):
Cho tam giác ABC có r là bán kính đường tròn nội tiếp, $r_a, r_b, r_c$ là các bán kính đường tròn bàng tiếp. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
1. Tam giác ABC vuông.
2. $r+r_a+r_b+r_c=a+b+c$
3. $r^2+r_a^2+r_b^2+r_c^2=a^2+b^2+c^2$
Giải:
Trước hết gọi $(I), (I_a), (I_b), (I_c)$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp góc A, bàng tiếp góc B, bàng tiếp góc C của tam giác ABC.
Gọi D là trung điểm BC, N là trung điểm $I_bIc$ Khi đó áp dụng tính chất đường trung bình của hình thang $2ND=r_b+r_c$
Mà $ND=R+OD=R+\frac{AH}{2}$ (H là trực tâm của tam giác ABC)
Mặt khác: Gọi X là tiếp điểm của (I) với BC, X' là tiếp điểm của $(I_a)$ với BC.
I' đối xứng I qua O.
M là giao điểm của $II_a$ và (O).
Ta có $2OD=I'X'+IX=r+2R-r_a$ Do $I'X'=2R-r_a$
Kết hợp tất cả những gì chứng minh ta có các đẳng thức sau:
a) $r_a+r_b+r_c=4R+r$
b) $AH = 2R + r − r_a, BH = 2R + r − r_b, CH = 2R + r − r_c.$
Như vậy 1. Tương đương $AH+BH+CH+2R=a+b+c$
$2R(cosA+cosB+cosC)=2R(sinA+sinB+sinC)$
Tương đương $(sin\frac{C}{2}-cos\frac{C}{2})(cos\frac{A-B}{2}-cos\frac{C}{2}))=0$
Điều phải chứng minh.
2. Tương đương $ (2R + r − r_a)^2+(2R + r − r_b)^2+(2R + r − r_c)^2+4R^2=a^2+b^2+c^2$
$ (2R + r − r_a)^2+(2R + r − r_b)^2+(2R + r − r_c)^2+4R^2-(a^2+b^2+c^2))$
$= 4R^2(cos^2 A + cos^2 B + cos^2 C + 1 − sin^2 A − sin^2 B − sin^2 C)$
$= − 16R^2 cos A cos B cos C=0.$
Như vậy tam giác ABC vuông.
Vậy ta có đpcm.
