Ta có định lý Pascal đầy đủ cho lục giác, định lý Pascal suy biến là khi một số các đỉnh trùng nhau.
Ta xét bài toán sau:
Cho tam giác ABC, nội tiếp (O), ngoại tiếp (I). BI cắt AC, (O) lần lượt tại $B_0, B_1$. Tương tự $C_0, C_1$ . Gọi S là giao điểm của $C_0B_1 và B_0C_1$. Chứng minh rằng SI chia đôi BC.
Lời giải:
Đặt $ T \equiv B_0C_0 \cap B_1C_1 $ và $ X \equiv AI \cap BC, Y \equiv AT \cap BC $ .
Áp dụng định lý Pascal suy biến cho lục giác $ AABB_1C_1C$ $ \Longrightarrow AT $ là tiếp tuyến của $ \odot (ABC) $ ,
Để ý rằng $ B_1C_1 $ là trung trực $ AI $ nên $ TA=TI $ . ... $ (\star) $
Ta có: $ YA=YX \Longrightarrow $ Kết hợp với $ (\star) $ Ta có $ TI \parallel XY \equiv BC $ ,
Vì thế từ tứ giác $B_0C_1B_1C_1$ toàn phần suy ra $ I(B,C;T,S)=-1 \Longrightarrow IS $ đi qua trung điểm $ BC $ .