Bài toán:
Trên bảng viết n ( $n\geq 4$) số nguyên dương liên tiếp. Hai người A và B lần lượt chọn một số từ n số đã cho và xóa số đó đi và thực hiện đến khi trên bảng còn lại 2 số a,b. Biết rằng A thắng cuộc nếu gcd(a,b)=1, B thắng cuộc nếu gcd(a,b)>1. Ai là người thắng cuộc nếu A đi trước :
a) n=2017
b) n là một số nguyên dương không nhỏ hơn 2016
Lời giải:
Trường hợp tổng quát cho $n>8$: Nếu $n$ lẻ, đặt $n=2k+1$. Chiến thuật giúp $A$ thắng: đầu tiên $A$ sẽ loại $n$ ra khỏi bảng và chia $n-1$ số còn lại thành $k$ cặp $(1,2),(3,4),...,(2k-1,2k)$.Mỗi lượt $B$ sẽ chọn $1$ số trong $1$ cặp bất kì, $A$ chỉ việc loại số còn lại trong cặp đó và trên bảng luôn còn những cặp số liên tiếp nên cuối cùng trên bảng sẽ còn $2$ số liên tiếp và $A$ sẽ thắng. Còn nếu $n$ chẵn thì $B$ sẽ thắng: Đặt $n=2k$ gọi $S_i$ là hiệu giữa số số chẵn với số số lẻ trên bảng sau bước thứ $i$ của $B$. Có $S_0=0$, chiến thuật thắng của $B$ như sau: Rõ ràng trò chơi sẽ kết thúc sau $k-1$ bước, trong $k-2$ bước đầu của $B$, anh ta sẽ chọn ra $2$ số lẻ $m,n$ với $(m,n)>1$ (luôn chọn được vì $n>8$) và sẽ chỉ loại những số lẻ trên bảng khác $m,n$ nếu có thể. Nếu trong $k-2$ bước đầu của $A$, $A$ chọn loại $1$ số lẻ tại bước thứ $i$ và $B$ chọn loại $1$ số lẻ khác thì $S_i\geq 2$. Lúc đó $B$ sẽ chọn loại tất cả các số lẻ khác trên bảng và $S_i$ sẽ không giảm. Cuối cùng trên bảng còn ít nhất $2$ số chẵn, $A$ và $B$ cứ loại dần đến khi chỉ còn $2$ số chẵn và $B$ thắng. Còn nếu $A$ luôn chọn loại số chẵn trong $k-2$ bước đầu thì sau $k-2$ bước của cả $2$, trên bảng còn $2$ số chẵn $a,b$ và $2$ số lẻ $m,n$. Nếu sau đó $A$ chọn loại $1$ số trong cặp $(a,b)$ thì $B$ sẽ loại số còn lại trong nhóm đó và trên bảng còn $2$ số $m,n$ với $(m,n)>1$. Còn nếu $A$ chọn loại $1$ số trong $(m,n)$ thì $B$ loại số còn lại, trên bảng còn $2$ số $a,b$ chẵn có $(a,b)>1$. Tóm lại $A$ thắng nếu $n$ lẻ, $B$ thắng nếu $n$ chẵn
