Lời giải:
Dễ thấy $(p,q)=(2,2),(3,2),(2,3)$.
Nếu $p,q \ge 3$. Dùng định lý Fermat nhỏ, ta có $2^{p} \equiv 2 \pmod{p}$. Vì thế $p|2^{q-1}+1$. Ta được $2^{q-1} \equiv -1 \pmod{p}$.
Đặt $q-1=2^x \cdot y$ với $x,y \in \mathbb{N}^*, \; \gcd(y,2)=1$ và đặt $2^y=k$, ta được $2^{q-1}=(2^y)^{2^x} \equiv -1 \pmod{p} \Rightarrow k^{2^{x+1}} \equiv 1 \pmod{p}$.
Ta có $\text{ord}_p(k) |2^{x+1}$.
Vì $k^{2^x} \equiv -1 \pmod{p}$ nên $p \nmid k^{2^x}$. Vì thế $\text{ord}_p(k) \nmid 2^x$.
Vậy $\text{ord}_p(k)=2^{x+1}$.
Ta cũng có $2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$. Nên $2^{x+1}|p-1$. Đặt $p=2^{u} \cdot l+1$ với $u,l \in \mathbb{N}^*, \; \gcd (l,2)=1$ thì $u \ge x+1$.
Tương tự ta cũng được $x \ge u+1$, mâu thuẫn
Vậy câu trả lời là $\boxed{ (x,y)=(2,2),(3,2),(2,3) $
Bài tập tương tự: Tìm $p,q$ nguyên tố sao cho $5^p+5^q \vdots pq$ ( lưu ý là phải xét thêm $p,q =2$)