Tiêu chuẩn mở rộng 1: Cho đa thức $P(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i$ là một đa thức hệ số nguyên. Nếu tồn tại số nguyên tố p thỏa mãn những điều kiện sau:
i) $ a_n$ không chia hết cho p
ii) Các hệ số $a_0, a_1, .. a_{n-k}$ chia hết cho p
iii) $a_0$ không chia hết $p^2$.
Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ không có ước là $G(x)$ mà bậc của G lớn hơn hoặc bằng k.
Chứng minh:
Giả sử ngược lại: $P(x)=f(x)g(x)$ với: $f(x)=\sum_{i=0}^{r}b_ix^i, g(x)=\sum_{i=0}^{s}c_ix^i, r+s=n, r,s \ge k$. Và do $r+s=n$ và $r,s \ge k$ suy ra $r, s \le n-k$
Dễ thấy rằng $a_0=b_0c_0$ mà $a_0 \vdots p$ và $a_0 \not \vdots p^2$ nên trong hai số $b_0$ và $c_0$ có đúng một số chia hết cho p, giả sử là $b_0$. Ngoài ra do $a_n=b_rc_s$ không chia hết cho $p$ nên $b_r$ không chia hết cho $p$. Suy ra, tồn tại k là số nhỏ nhất mà $0<k \le r \le n-k$ sao cho $b_k$ không chia hết cho p. Khi đó $b_0, b_1,..b_{k-1}$ đều chia hết cho $p$. Ta cũng có:
$a_k=b_kc_0+b_{k-1}c_1+..+b_0c_k$ là hệ số chia hết cho p. Tuy nhiên, do $b_kc_0 \not \vdots p$ và $b_0, b_1,..b_{k-1} \vdots p$ nên đây là điều mâu thuẫn. Vậy điều giả sử là sai và ta có đpcm.
Tiêu chuẩn mở rộng 2 (Tham khảo từ bài viết của STEVEN H. WEINTRAUB ): Cho $f(x)=a_nx^n+..+a_0$ là đa thức hệ số nguyên. Và giả sử có một số nguyên tố p sao cho $p$ không là ước $a_n$, $p$ là ước $a_i, (i=0,1,..n-1)$) và với một số số k nào đó $p^2$ không là ước của $a_k$. Gọi $k_0$ là giá trị nhỏ nhất của $k$ Khi đó nếu $f(x)=g(x)h(x)$ thì $min( deg g(x), deg h(x)) \le k_0$.
Chứng minh:
Gọi $deg g(x)=d_0$, $deg h(x)=e_0$. Gọi $d$ là số mũ nhỏ nhất của $x$ trong đa thức g(x) mà hệ số của nó không chia hết cho $p$, định nghĩa tương tự cho $e$. Khi đó:
$g(x)=x^dg_1(x)+pg_2(x)$,$h(x)=x^eh_1(x)+h_2(x)$. với các đa thức $g_1, g_2, h_1, h_2$ là các đa thức hệ số nguyên và các hệ số của $g_1, h_1$ không chia hết cho $p$. Khi đó:
$f(x)=g(x)h(x)=x^{d+e}g_1(x)h_1(x)+p(x^eh_1(x)g_2(x)+x^dh_2(x)g_1(x))+p^2g_2(x)h_2(x)$
mà theo giả thiết thì tất cả hệ số của $f(x)$ trừ $a_n$ đều chia hết cho $p$. Điều này dẫn đến $d+e=n$ vì nếu không ($x^{d+e}$ nhân với hệ số tự do trong $g_1(x)$ và $h_1(x)$ sẽ có được điều mâu thuẫn). và $ d \le d_0, e \le e_0$ $d_0+e_0=n$ nên $d=d_0, e=e_0$.
Vì thế $g(x)=b_{d_0}x^{d_0}+pg_2(x), h(x)=c_{e_0}x^{e_0}+ph_2(x)$ Trong trường hợp này ta có:
$f(x)=g(x)h(x)=a_nx^n+ph_2(x)b_{d_0}x^{d_0}+pg_2(x)c_{e_0}x^{e_0}+p^2g_2(x)h_2(x)$.
Vậy $k_0 \le min( deg g(x), deg h(x)) $ (điều phải chứng minh)
Lưu ý:
Với k=0 ta có tiêu chuẩn Eisentein f(x) bất khả quy còn $k=1$ nếu f(x) không có nghiệm hữu tỉ thì f(x) cũng bất khả quy.
